1. Диагональ куба равна 6 см. Найдите:а) ребро куба;б) косинус угла между диагональю куба и плоскостью...

Для ответа на поставленные вопросы, начнем с рассмотрения свойств куба и связанных с ним геометрических отношений:

а) Определение ребра куба, если известна диагональ куба.

Диагональ куба соединяет две противоположные вершины и проходит через центр куба, формируя треугольник с ребрами куба. Если обозначить ребро куба как $a$, то диагональ $d$ куба можно найти по теореме Пифагора, учитывая, что она образует прямоугольный треугольник с тремя ребрами куба $каждоеизкоторыхравно(a$):

$d^2=a^2+a^2+a^2=3a^2$

Из условия задачи известно, что диагональ равна 6 см, следовательно:

$6^2=3a^{2}36=3a^2{a}^2=12a=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\text{ см}$

б) Определение косинуса угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

Угол между диагональю куба и плоскостью одной из его граней можно найти, рассматривая угол между диагональю куба и одним из ребер, лежащих в этой плоскости. Рассмотрим одну из граней куба как основание и диагональ куба, выходящую из этой грани. Эта диагональ образует с каждым ребром грани угол. Поскольку ребро и диагональ образуют прямоугольный треугольник с гранью куба, задачу можно решить через нахождение косинуса угла между ребром $a$ и диагональю грани $d_g$, которая равна:

$d_g^2=a^2+a^2=2a^2{d}_g=a\sqrt{2}$

Косинус угла между диагональю куба $d$ и ребром $a$:

$\cos \theta =\frac{a}{d}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Таким образом, мы нашли:

а) Ребро куба равно $2\sqrt{3}$ см.

б) Косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

а) Для нахождения ребра куба воспользуемся формулой для диагонали куба: d = √3 a, где d - диагональ, а - ребро куба. Подставляем известное значение диагонали: 6 = √3 a. Решая уравнение, получаем a = 2√3 см.

б) Угол между диагональю куба и плоскостью одной из его граней равен 45 градусов, так как диагональ куба проходит через центр и делит его на две равные части $тоестьнадведиагоналиоснованиякуба$. Таким образом, косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней равен cos$45°$ = √2/2.