1. Диагональ куба равна 6 см. Найдите:а) ребро куба;б) косинус угла между диагональю куба и плоскостью...

Для ответа на поставленные вопросы, начнем с рассмотрения свойств куба и связанных с ним геометрических отношений:

а) Определение ребра куба, если известна диагональ куба.

Диагональ куба соединяет две противоположные вершины и проходит через центр куба, формируя треугольник с ребрами куба. Если обозначить ребро куба как (a), то диагональ (d) куба можно найти по теореме Пифагора, учитывая, что она образует прямоугольный треугольник с тремя ребрами куба (каждое из которых равно (a)):

[ d^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2 ]

Из условия задачи известно, что диагональ равна 6 см, следовательно:

[ 6^2 = 3a^2 \ 36 = 3a^2 \ a^2 = 12 \ a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ см} ]

б) Определение косинуса угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

Угол между диагональю куба и плоскостью одной из его граней можно найти, рассматривая угол между диагональю куба и одним из ребер, лежащих в этой плоскости. Рассмотрим одну из граней куба как основание и диагональ куба, выходящую из этой грани. Эта диагональ образует с каждым ребром грани угол. Поскольку ребро и диагональ образуют прямоугольный треугольник с гранью куба, задачу можно решить через нахождение косинуса угла между ребром (a) и диагональю грани (d_g), которая равна:

[ d_g^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \ d_g = a\sqrt{2} ]

Косинус угла между диагональю куба (d) и ребром (a):

[ \cos \theta = \frac{a}{d} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} ]

Таким образом, мы нашли:

а) Ребро куба равно (2\sqrt{3}) см.

б) Косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней равен (\frac{\sqrt{3}}{3}).

а) Для нахождения ребра куба воспользуемся формулой для диагонали куба: d = √3 a, где d - диагональ, а - ребро куба. Подставляем известное значение диагонали: 6 = √3 a. Решая уравнение, получаем a = 2√3 см.

б) Угол между диагональю куба и плоскостью одной из его граней равен 45 градусов, так как диагональ куба проходит через центр и делит его на две равные части (то есть на две диагонали основания куба). Таким образом, косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней равен cos(45°) = √2/2.