Для решения задач по геометрии в правильной четырехугольной призме и прямом параллелепипеде воспользуемся известными формулами и методами.
а) Площадь сечения через противоположные стороны:
Основание призмы — квадрат, так как призма правильная четырёхугольная. Диагональ квадрата (d = 10\sqrt{2}). Формула диагонали квадрата: [ d = a\sqrt{2} ] где (a) — сторона квадрата. Тогда: [ a\sqrt{2} = 10\sqrt{2} ] [ a = 10 ]
Сечение, проходящее через противоположные стороны основания, представляет собой прямоугольник со сторонами (10) и (20) (высота призмы). Тогда площадь сечения: [ S = a \times h = 10 \times 20 = 200 \text{ см}^2 ]
б) Площадь сечения под углом 45 градусов к основанию:
Сечение, проходящее через сторону основания под углом 45 градусов, будет представлять собой прямоугольник, одна сторона которого — высота призмы (h = 20), а другая — диагональ квадрата основания, так как сечение проходит под углом 45 градусов.
Диагональ квадрата: [ d = a\sqrt{2} = 10\sqrt{2} ]
Площадь такого сечения: [ S = d \times h = 10\sqrt{2} \times 20 ]
[ S = 200\sqrt{2} \text{ см}^2 ]
Диагональ параллелепипеда (D) можно найти по формуле: [ D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} ]
В данном случае:
Вычислим: [ D = \sqrt{2^2 + 5^2 + (2\sqrt{2})^2} ] [ D = \sqrt{4 + 25 + 8} ] [ D = \sqrt{37} ]
Таким образом, диагональ параллелепипеда равна (\sqrt{37}) см.
a) Для нахождения площади сечения, проходящего через противоположные стороны оснований призмы, нужно разделить призму на два прямоугольных треугольника по диагонали основания. По теореме Пифагора находим длину боковой стороны треугольника: (a = \sqrt{(10\sqrt{2})^2 - (10)^2} = \sqrt{200 - 100} = \sqrt{100} = 10 ) см. Затем находим площадь треугольника: (S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 20 = 100 ) см². Так как у нас два таких треугольника, то общая площадь сечения будет равна (2 \cdot 100 = 200 ) см².
б) Для нахождения площади сечения призмы, проходящего через сторону основания под углом 45 градусов к нему, нужно найти длину стороны сечения. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной основания, диагональю основания и стороной сечения. По теореме Пифагора находим длину стороны сечения: (a = \sqrt{(10)^2 + (10\sqrt{2})^2} = \sqrt{100 + 200} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} ) см. Затем находим площадь сечения: (S = a \cdot h = 10\sqrt{3} \cdot 20 = 200\sqrt{3} ) см².
2) Для нахождения диагоналей прямоугольного параллелепипеда, воспользуемся формулой диагонали параллелепипеда: (d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} ), где a, b, c - стороны параллелепипеда.
По условию: a = 2 см, b = 5 см, c = 2√2 см, (d_1 = \sqrt{2^2 + 5^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 25 + 8} = \sqrt{37} ) см, (d_2 = \sqrt{2^2 + (5\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 50 + 4} = \sqrt{58} ) см.
Таким образом, диагонали параллелепипеда равны ( \sqrt{37} ) см и ( \sqrt{58} ) см.
