1) Из точки M к окружности с центром О проведены касательные MA и MB (A и B — точки касания). Найдите...

В данной задаче, поскольку угол ∠AMB равен 90°, треугольник OMA (или OMB) является прямоугольным.

По теореме Пифагора для треугольника OMA имеем:

[ OM^2 = OA^2 + AM^2, ]

где OA — радиус окружности. Также, поскольку AM = BM (длина касательных из одной точки к окружности равны), обозначим их за x:

[ OM^2 = OA^2 + x^2. ]

Так как OM = 10 см, то:

[ 10^2 = OA^2 + x^2. ] [ 100 = OA^2 + x^2. ]

Также в треугольнике OAB, используя теорему Пифагора для OA и OB (где OA = OB = r):

[ AB^2 = OA^2 + OB^2 = 2 \cdot OA^2. ]

И поскольку AB является гипотенузой прямоугольного треугольника AMB, мы получаем:

[ AB = AM + MB = 2x. ]

Таким образом, из равенства:

[ 2x^2 = OA^2. ]

Теперь подставим это в уравнение:

[ 100 = OA^2 + x^2 ] [ 100 = 2x^2 + x^2 ] [ 100 = 3x^2 ] [ x^2 = \frac{100}{3} ] [ x = \frac{10}{\sqrt{3}} \approx 5.77 \text{ см}. ]

Следовательно:

[ AM = BM = \frac{10}{\sqrt{3}} \text{ см} \approx 5.77 \text{ см}. ]

Дано:

1. Из точки ( M ) проведены две касательные ( MA ) и ( MB ) к окружности с центром ( O ), причём точки ( A ) и ( B ) — точки касания.
2. Угол между касательными ( \angle AMB = 90^\circ ).
3. Расстояние от точки ( M ) до центра окружности ( OM = 10 \, \text{см} ).

Найти длины ( AM ) и ( BM ) (они равны, поскольку из точки вне окружности к окружности проведены две касательные).

Решение:

1. Свойства касательных

Касательные, проведённые из одной точки ( M ) к окружности, равны. То есть: [ AM = BM. ] Обозначим их общую длину за ( x ): [ AM = BM = x. ]

2. Анализ треугольника ( \triangle OMA )

Треугольник ( \triangle OMA ) является прямоугольным, так как радиус ( OA ) перпендикулярен касательной ( MA ) в точке касания ( A ). Аналогично для ( \triangle OMB ).

Таким образом, ( \triangle OMA ) и ( \triangle OMB ) — оба прямоугольные.

3. Анализ четырёхугольника ( AMOB )

Четырёхугольник ( AMOB ) также имеет важное свойство: [ \angle AMB = 90^\circ. ] Поскольку угол между касательными ( \angle AMB = 90^\circ ), а точки ( A ), ( O ), и ( B ) лежат на одной окружности, то ( AMOB ) является квадратом.

Это означает, что: [ AM = BM = OM. ]

4. Вывод

По условию ( OM = 10 \, \text{см} ), следовательно: [ AM = BM = 10 \, \text{см}. ]

Ответ:

Длины касательных ( AM ) и ( BM ) равны ( 10 \, \text{см} ).

Для решения задачи воспользуемся свойствами касательных к окружности и некоторыми элементами геометрии.

1. Свойства касательных: Из точки вне окружности, в данном случае точки M, проведены касательные к окружности. Эти касательные имеют равную длину, то есть ( AM = BM ). Обозначим длину касательных как ( x ).

2. Треугольник OMA: Рассмотрим треугольник OMA. В этом треугольнике:

   • ( OA ) — радиус окружности и перпендикулярен касательной ( MA ) (свойство касательной).
   • ( OM = 10 ) см — расстояние от центра окружности O до точки M.
   • ( AM = x ) см — длина касательной.

3. Построение: У нас есть прямоугольный треугольник OMA, где:

   • ( OM ) — гипотенуза,
   • ( OA ) — один из катетов,
   • ( AM ) — другой катет.

4. Применение теоремы Пифагора: В прямоугольном треугольнике OMA выполняется теорема Пифагора: [ OM^2 = OA^2 + AM^2 ] Подставим известные значения: [ 10^2 = r^2 + x^2 ] где ( r ) — радиус окружности.

5. Треугольник AMB: Учитывая, что угол ( \angle AMB = 90^\circ ), треугольник AMB тоже является прямоугольным, и мы можем снова применить теорему Пифагора: [ AB^2 = AM^2 + MB^2 ] Поскольку ( AM = MB = x ), получаем: [ AB^2 = x^2 + x^2 = 2x^2 ] То есть: [ AB = x\sqrt{2} ]

6. Определение AB: В треугольнике OAB, где ( OA = r ) и ( OB = r ), также можно применить теорему Пифагора: [ OA^2 + AB^2 = OB^2 ] Подставим значения: [ r^2 + (x\sqrt{2})^2 = r^2 ] Это уравнение в данной форме не имеет смысла, так как ( r^2 + 2x^2 = r^2 ) подразумевает, что ( 2x^2 = 0 ), чего быть не может. Следовательно, мы должны использовать информацию о расстоянии OM.

7. Подстановка и решение: Теперь подставим ( AB ) в уравнение для ( OM ): [ 10^2 = r^2 + x^2 ] В этом уравнении нам необходимо знать радиус ( r ). Однако, если угол ( \angle AMB = 90^\circ ), то ( M ) будет находиться на окружности, определяемой радиусом ( r ), и тогда мы можем использовать соотношение между радиусом и длиной касательной.

8. Итог: В данной задаче, без дополнительной информации о радиусе окружности, мы не можем найти конкретные значения AM и BM. Однако, если мы знаем радиус окружности, мы можем решить уравнение для ( x ).

Таким образом, если, например, радиус окружности ( r = 6 ) см, то: [ 10^2 = 6^2 + x^2 \Rightarrow 100 = 36 + x^2 \Rightarrow x^2 = 64 \Rightarrow x = 8 \text{ см}. ] В итоге, ( AM = BM = 8 \text{ см} ).

Для получения конкретных значений необходимо знать радиус окружности.