1) Начертите 2 неколлинеарных вектора а и b. Постройте векторы равные: а) 1/2а+3b; б) 2а-b.2) На стороне...

Ответ:

1) Построение векторов:

• Предположим, что у вас есть два неколлинеарных вектора ( \vec{a} ) и ( \vec{b} ), которые расположены на бумаге так, чтобы не лежать на одной прямой. Например, ( \vec{a} ) может быть направлен вверх, а ( \vec{b} ) вправо.
• Для построения вектора ( \frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{b} ): а) Найдите середину вектора ( \vec{a} ), чтобы получить ( \frac{1}{2}\vec{a} ). б) Отложите три вектора ( \vec{b} ), начиная от конца вектора ( \frac{1}{2}\vec{a} ).
• Для построения вектора ( 2\vec{a} - \vec{b} ): а) Отложите два вектора ( \vec{a} ) друг за другом. б) Откладывая вектор ( \vec{b} ) в обратном направлении от конца полученного вектора ( 2\vec{a} ).

2) Векторы в ромбе:

• ( \vec{AO} ) и ( \vec{OC} ) являются равными и противоположными по направлению (так как ( O ) - центр ромба и делит диагонали пополам), поэтому ( \vec{AO} = -\frac{1}{2}\vec{AC} ).
• Поскольку ( \vec{AC} = \vec{a} + \vec{b} ), то ( \vec{AO} = -\frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) ).
• ( \vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK} ), где ( \vec{BK} = \frac{1}{2}\vec{BC} ) и ( \vec{BC} = \vec{a} ) (поскольку ( \vec{AB} = \vec{a} )), следовательно, ( \vec{AK} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{3}{2}\vec{a} ).
• ( \vec{KD} ) можно выразить как ( \vec{KD} = \vec{KC} + \vec{CD} ), где ( \vec{KC} = -\frac{1}{2}\vec{BC} = -\frac{1}{2}\vec{a} ) и ( \vec{CD} = -\vec{b} ), таким образом, ( \vec{KD} = -\frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b} ).

3) Средняя линия трапеции:

• Средняя линия трапеции равна среднему арифметическому длин её оснований.
• Если большее основание равно ( 5 + 12 = 17 ), то предположим, что меньшее основание равно ( x ).
• Тогда средняя линия ( M ) равна ( \frac{17 + x}{2} ).
• Но в равнобедренной трапеции высота, опущенная на большее основание, делит его на два равных отрезка относительно меньшего основания. Таким образом, если взять в расчет, что меньшее основание также равно 17 (симметричность), то средняя линия трапеции будет ( \frac{17 + 17}{2} = 17 ).

Таким образом, средняя линия трапеции равна 17.

1) а) Построим два неколлинеарных вектора a и b. Пусть a = (2, 3) и b = (1, 4). Тогда вектор 1/2a+3b = 1/2(2, 3) + 3(1, 4) = (1, 1.5) + (3, 12) = (4, 13.5).

б) Вектор 2a-b = 2*(2, 3) - (1, 4) = (4, 6) - (1, 4) = (3, 2).

2) Поскольку ВК=КС, то точка К является серединой отрезка BC. Также, по свойствам ромба, диагонали пересекаются в точке О, которая является центром ромба и серединой отрезка AC.

Выразим векторы АО, АК, КD через векторы a=AB и b=AD: АО = 1/2(a + c) = 1/2(a + 2b), АК = 1/2*(a + b), KD = b.

3) Пусть основание трапеции равно a, а средняя линия равно b. Так как высота делит большее основание на отрезки 5 и 12, то можно записать: b = (a + 2a)/2 = 1.5a.

Таким образом, средняя линия трапеции равна 1.5 раз большему основанию, то есть 1.5a.