Площадь боковой поверхности цилиндра равна 48пи см квадратных. Найдите площадь осевого сечения и площадь полной поверхности цилиндра, если высота цилиндра равна 12 см.
Площадь осевого сечения конуса равна 56 дм квадратных. Найдите площадь боковой и полной поверхности конуса, если радиус основания конуса равен 4 дм.
1. Найдём радиус основания цилиндра ( r ):
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле: [ S_{b} = 2\pi rh ]
Подставим известные значения и решим уравнение для ( r ): [ 48\pi = 2\pi r \cdot 12 ] [ 48\pi = 24\pi r ] [ r = \frac{48\pi}{24\pi} = 2 \text{ см} ]
2. Найдём площадь осевого сечения:
Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой ( h ) и основанием ( d = 2r ): [ S{ос} = h \cdot 2r ] [ S{ос} = 12 \cdot 2 \cdot 2 ] [ S_{ос} = 48 \text{ см²} ]
3. Найдём площадь полной поверхности цилиндра:
Площадь полной поверхности цилиндра включает площадь двух оснований и площадь боковой поверхности: [ S{п} = S{b} + 2S{осн} ] [ S{осн} = \pi r^2 ] [ S{осн} = \pi \cdot 2^2 = 4\pi \text{ см²} ] [ S{п} = 48\pi + 2 \cdot 4\pi ] [ S{п} = 48\pi + 8\pi ] [ S{п} = 56\pi \text{ см²} ]
1. Найдём высоту конуса ( h ):
Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник с основанием ( 2r ) и высотой ( h ): [ S_{ос} = \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot h ] [ 56 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 \cdot h ] [ 56 = 4h ] [ h = \frac{56}{4} = 14 \text{ дм} ]
2. Найдём образующую конуса ( l ):
Образующая ( l ) является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами ( r ) и ( h ): [ l = \sqrt{r^2 + h^2} ] [ l = \sqrt{4^2 + 14^2} ] [ l = \sqrt{16 + 196} ] [ l = \sqrt{212} ] [ l = 2\sqrt{53} \text{ дм} ]
3. Найдём площадь боковой поверхности:
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: [ S{b} = \pi r l ] [ S{b} = \pi \cdot 4 \cdot 2\sqrt{53} ] [ S_{b} = 8\pi \sqrt{53} \text{ дм²} ]
4. Найдём площадь полной поверхности:
Площадь полной поверхности конуса включает площадь основания и боковой поверхности: [ S{п} = S{b} + S{осн} ] [ S{осн} = \pi r^2 ] [ S{осн} = \pi \cdot 4^2 ] [ S{осн} = 16\pi \text{ дм²} ] [ S_{п} = 8\pi \sqrt{53} + 16\pi ]
Площадь осевого сечения цилиндра равна 4пи см квадратных, площадь полной поверхности цилиндра равна 144пи см квадратных.
Площадь боковой поверхности конуса равна 56 дм квадратных, площадь полной поверхности конуса равна 112 дм квадратных.
Площадь полной поверхности цилиндра складывается из площади боковой поверхности и двух оснований. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 48π см квадратных, площадь одного основания равна πr^2. Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра равна S = 48π + 2πr^2 = 48π + 2π(48/π) = 48π + 96 = 144π см квадратных.
Теперь можем найти площадь боковой поверхности конуса: S = π 4 4√10 = 16π√10 дм квадратных.
Площадь полной поверхности конуса складывается из площади боковой поверхности и площади основания. Площадь основания конуса равна πr^2. Таким образом, S = 16π√10 + π * 4^2 = 16π√10 + 16π = 16π(√10 + 1) дм квадратных.
