1) точки E и F лежат соответственно на сторонах AD и BC параллелограмма ABCD, причем АЕ=ЕD, BF:FC=4:3. а) выразите вектор EF через векторы m=вектору АВ и вектор n= вектору AD. в) может ли при каком нибудь значении х выполняться равенство вектор EF=xCD? 2) боковые стороны прямоугольной трапеции = 15 см. и 17 см., средняя линия = 6 см. Найдите основание трапеции.
Для решения поставленных задач начнём с первого пункта.
Пусть векторы обозначают следующие точки:
Теперь найдём точки E и F.
Точка E делит сторону AD пополам, следовательно: [ \mathbf{E} = \mathbf{A} + \frac{1}{2}\mathbf{n} = \mathbf{A} + \frac{1}{2}\mathbf{AD}. ]
Точка F делит сторону BC в отношении 4:3. Это значит, что: [ \mathbf{F} = \frac{3}{7}\mathbf{B} + \frac{4}{7}\mathbf{C} = \frac{3}{7}(\mathbf{A} + \mathbf{m}) + \frac{4}{7}(\mathbf{A} + \mathbf{m} + \mathbf{n}). ] Упрощая это, получим: [ \mathbf{F} = \frac{3}{7} \mathbf{A} + \frac{3}{7} \mathbf{m} + \frac{4}{7} \mathbf{A} + \frac{4}{7} \mathbf{m} + \frac{4}{7} \mathbf{n} = \mathbf{A} + \mathbf{m} + \frac{4}{7} \mathbf{n}. ]
Теперь можем выразить вектор ( \mathbf{EF} ): [ \mathbf{EF} = \mathbf{F} - \mathbf{E} = \left(\mathbf{A} + \mathbf{m} + \frac{4}{7}\mathbf{n}\right) - \left(\mathbf{A} + \frac{1}{2}\mathbf{n}\right). ] Сокращая, получаем: [ \mathbf{EF} = \mathbf{m} + \left(\frac{4}{7} - \frac{1}{2}\right)\mathbf{n}. ] Теперь вычислим ( \frac{4}{7} - \frac{1}{2} ): [ \frac{4}{7} - \frac{1}{2} = \frac{8}{14} - \frac{7}{14} = \frac{1}{14}. ] Следовательно, [ \mathbf{EF} = \mathbf{m} + \frac{1}{14}\mathbf{n}. ]
Вектор ( \mathbf{CD} ) равен ( -\mathbf{m} + \mathbf{n} ) (так как ( \mathbf{C} = \mathbf{B} + \mathbf{n} )). Таким образом, у нас есть:
[ \mathbf{EF} = \mathbf{m} + \frac{1}{14}\mathbf{n} = x(-\mathbf{m} + \mathbf{n}). ] Развивая это, получаем систему уравнений:
Решив первое уравнение, получаем ( x = -1 ). Подставив во второе уравнение, получим ( \frac{1}{14} = -1 ), что невозможно. Таким образом, равенство не может выполняться для каких-либо значений ( x ).
Дано:
Средняя линия трапеции вычисляется по формуле:
[ m = \frac{a + b}{2}. ]
Подставляем известные значения:
[ 6 = \frac{a + b}{2} \implies a + b = 12. ]
Теперь подставим значения боковых сторон:
[ 15 + 17 = 12, \quad \text{что неверно.} ]
Решение будет другим. Мы знаем, что ( a ) и ( b ) должны быть основанием трапеции. Поскольку средняя линия равна ( 6 \, \text{см} ), можно выразить основания как:
Таким образом, у нас получится два уравнения. Однако, поскольку боковые стороны не могут быть меньше, чем разность оснований, мы можем решить более правильно:
Используем формулу для вычисления площади трапеции:
[ S = \frac{(b_1 + b_2) \cdot h}{2}. ]
Где ( h ) — высота трапеции, которую можно найти по теореме Пифагора для треугольников, образованных боковыми сторонами. Однако, с такими данными, мы не можем получить точные основания, так как они не могут соответствовать условиям.
Таким образом, основание трапеции не может быть вычислено из заданных значений, так как они противоречат друг другу.
1) Вектор ( \mathbf{EF} = \mathbf{m} + \frac{1}{14}\mathbf{n} ). Равенство ( \mathbf{EF} = x\mathbf{CD} ) не выполняется для каких-либо значений ( x ). 2) Основания трапеции не могут быть вычислены с заданными данными.
Пусть ( A, B, C, D ) — вершины параллелограмма, ( E ) лежит на стороне ( AD ), а ( F ) — на стороне ( BC ). Также известно:
Теперь найдём вектор ( \vec{EF} ): [ \vec{EF} = \vec{F} - \vec{E}. ] Подставим выражения для ( \vec{F} ) и ( \vec{E} ): [ \vec{EF} = \frac{4\vec{B} + 3\vec{C}}{7} - \frac{\vec{A} + \vec{D}}{2}. ]
Выразим координаты через базовые векторы ( \vec{m} ) и ( \vec{n} ):
Подставим эти выражения в формулу для ( \vec{EF} ): [ \vec{F} = \frac{4(\vec{A} + \vec{m}) + 3(\vec{A} + \vec{m} + \vec{n})}{7} = \frac{7\vec{A} + 7\vec{m} + 3\vec{n}}{7} = \vec{A} + \vec{m} + \frac{3}{7}\vec{n}. ] [ \vec{E} = \frac{\vec{A} + (\vec{A} + \vec{n})}{2} = \vec{A} + \frac{1}{2}\vec{n}. ]
Теперь: [ \vec{EF} = \left(\vec{A} + \vec{m} + \frac{3}{7}\vec{n}\right) - \left(\vec{A} + \frac{1}{2}\vec{n}\right). ] Сокращаем: [ \vec{EF} = \vec{m} + \frac{3}{7}\vec{n} - \frac{1}{2}\vec{n}. ] Приведём коэффициенты у ( \vec{n} ) к общему знаменателю: [ \frac{3}{7} - \frac{1}{2} = \frac{6}{14} - \frac{7}{14} = -\frac{1}{14}. ] Тогда: [ \vec{EF} = \vec{m} - \frac{1}{14}\vec{n}. ]
Ответ: [ \vec{EF} = \vec{m} - \frac{1}{14}\vec{n}. ]
Вектор ( \vec{CD} ) можно выразить через ( \vec{m} ) и ( \vec{n} ): [ \vec{CD} = \vec{D} - \vec{C} = (\vec{A} + \vec{n}) - (\vec{A} + \vec{m} + \vec{n}) = -\vec{m}. ]
Сравним ( \vec{EF} ) и ( x\vec{CD} ): [ \vec{EF} = \vec{m} - \frac{1}{14}\vec{n}, \quad x\vec{CD} = x(-\vec{m}). ]
Чтобы ( \vec{EF} = x\vec{CD} ), должно выполняться: [ \vec{m} - \frac{1}{14}\vec{n} = -x\vec{m}. ]
Разделим это равенство на базовые векторы:
Следовательно, равенство ( \vec{EF} = x\vec{CD} ) невозможно.
Дано:
Средняя линия трапеции выражается как полусумма оснований: [ m = \frac{x + y}{2}. ]
Подставим известное значение: [ 6 = \frac{x + y}{2}. ]
Умножим на 2: [ x + y = 12. ]
Из геометрии прямоугольной трапеции известно, что разность оснований выражается через боковые стороны: [ x - y = \sqrt{b^2 - a^2}. ]
Подставим значения: [ x - y = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8. ]
Теперь решим систему уравнений: [ x + y = 12, ] [ x - y = 8. ]
Сложим уравнения: [ 2x = 20 \quad \Rightarrow \quad x = 10. ]
Вычтем уравнения: [ 2y = 4 \quad \Rightarrow \quad y = 4. ]
Ответ: Основания трапеции — ( x = 10 ) см, ( y = 4 ) см.
