1. Трапеция АВСД $АДиВС-основания$ расположена вне плоскости альфа. Диагонали трапеции параллельны...

1. Для доказательства того, что фигура ЕАВФ является параллелограммом, воспользуемся тем, что диагонали трапеции параллельны плоскости альфа. Поскольку прямые, проходящие через вершины А и В, параллельны друг другу и пересекают плоскость альфа в точках Е и Ф, то стороны ЕА и ВФ будут параллельны и равны соответственно сторонам АВ и СД трапеции. Таким образом, углы при вершинах Е и Ф также будут равны, что гарантирует параллелограмм ЕАВФ.

2. Прямые а и б будут параллельны друг другу, так как они пересекают плоскости альфа и бета параллельно и находятся в одной плоскости. Таким образом, углы между прямыми а и б будут равны, что и является признаком их параллельности.

3. Построим сечение параллелипипеда плоскостью, проходящей через середину ребра ДС и параллельной плоскости АВ1С1. Получим прямоугольник со сторонами, равными 6 и 4 $половинасторонСС1иАД$. Периметр такого прямоугольника будет равен 2*$6+4$ = 20. Таким образом, периметр сечения параллелипипеда будет равен 20.

1. Доказательство параллелограмма ЕАВФ

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагонали $AC$ и $BD$ параллельны плоскости $\alpha$. Пусть прямые, проведенные через вершины $A$ и $B$, пересекают плоскость $\alpha$ в точках $E$ и $F$ соответственно.

Шаги доказательства:

1. Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, которая также параллельна плоскости $\alpha$.
2. Прямые $AE$ и $BF$ параллельны друг другу, так как они обе параллельны плоскости $\alpha$.
3. Отрезки $AE$ и $BF$ пересекают плоскость $\alpha$ в точках $E$ и $F$.
4. Прямые $AB$ и $EF$ параллельны друг другу, так как они обе параллельны плоскости $\alpha$.
5. Четырехугольник $EABF$ имеет противоположные стороны $EA$ и $BF$, а также $AB$ и $EF$ параллельными, что по определению является признаком параллелограмма.

Таким образом, $EABF$ — параллелограмм.

Рисунок:

       A--------------B
      / \            / \
     /   \          /   \
  E /_____ \______F/_____ \
   /       \      /       \
  /         \    /         \
 /           \  /           \
D-------------C

2. Взаимное положение прямых а и б

Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Прямая $a$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Прямая $b$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ в точках $C$ и $D$ соответственно.

Анализ взаимного положения:

1. Точки $A$ и $C$ лежат в одной плоскости $\alpha$.
2. Точки $B$ и $D$ лежат в одной плоскости $\beta$.
3. Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, прямые $a$ и $b$ пересекают их в соответствующих точках на одинаковом расстоянии друг от друга.
4. Это означает, что прямые $a$ и $b$ параллельны, потому что они пересекают две параллельные плоскости в одно и то же расстояние.

Таким образом, прямые $a$ и $b$ параллельны.

3. Построение сечения параллелепипеда

Параллелепипед $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ имеет все грани прямоугольные. Даны следующие размеры:

• $AD=4$
• $DC=8$
• $C{C}_1=6$

Сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через середину ребра $DC$ и параллельной плоскости $A{B}_1{C}_1$, можно построить следующим образом:

1. Найдем середину ребра $DC$, обозначим эту точку $M$. Координаты точки $M$ будут $(4,4,0$).
2. Плоскость, параллельная $A{B}_1{C}_1$, будет проходить через точку $M$ и параллельно плоскостям, содержащим ребра $A{B}_1$ и $C_1$.

Сечение:

• Соединяем точку $M$ с точками $A$, $B_1$, $C_1$, и $B$.

Периметр сечения:

1. Определим координаты точек сечения:

   • $M=(4,4,0$)
   • $A^{\prime }=(0,0,0$)
   • $B_1^{\prime }=(0,8,6$)
   • $C_1^{\prime }=(4,8,6$)

2. Найдем длины сторон сечения:

   • $M{A}^{\prime }=\sqrt{(4-0{)}^2+(4-0{)}^2+(0-0{)}^2}=4\sqrt{2}$
   • $M{B}_1^{\prime }=\sqrt{(4-0{)}^2+(4-8{)}^2+(0-6{)}^2}=8$
   • $M{C}_1^{\prime }=\sqrt{(4-4{)}^2+(4-8{)}^2+(0-6{)}^2}=8$
   • $A^{\prime }{B}_1^{\prime }=\sqrt{(0-0{)}^2+(0-8{)}^2+(0-6{)}^2}=10$

3. Периметр сечения равен: $P=M{A}^{\prime }+M{B}_1^{\prime }+M{C}_1^{\prime }+A^{\prime }{B}_1^{\prime }=4\sqrt{2}+8+8+10=26+4\sqrt{2}\approx 31.656$.

Таким образом, периметр сечения составляет $26+4\sqrt{2}$.