1. Доказательство параллелограмма ЕАВФ
Рассмотрим трапецию с основаниями и . Диагонали и параллельны плоскости . Пусть прямые, проведенные через вершины и , пересекают плоскость в точках и соответственно.
Шаги доказательства:
- Пусть диагонали и пересекаются в точке , которая также параллельна плоскости .
- Прямые и параллельны друг другу, так как они обе параллельны плоскости .
- Отрезки и пересекают плоскость в точках и .
- Прямые и параллельны друг другу, так как они обе параллельны плоскости .
- Четырехугольник имеет противоположные стороны и , а также и параллельными, что по определению является признаком параллелограмма.
Таким образом, — параллелограмм.
Рисунок:
A--------------B
/ \ / \
/ \ / \
E /_____ \______F/_____ \
/ \ / \
/ \ / \
/ \ / \
D-------------C
2. Взаимное положение прямых а и б
Плоскости и параллельны. Прямая пересекает плоскости и в точках и соответственно. Прямая пересекает плоскости и в точках и соответственно.
Анализ взаимного положения:
- Точки и лежат в одной плоскости .
- Точки и лежат в одной плоскости .
- Поскольку плоскости и параллельны, прямые и пересекают их в соответствующих точках на одинаковом расстоянии друг от друга.
- Это означает, что прямые и параллельны, потому что они пересекают две параллельные плоскости в одно и то же расстояние.
Таким образом, прямые и параллельны.
3. Построение сечения параллелепипеда
Параллелепипед имеет все грани прямоугольные. Даны следующие размеры:
Сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через середину ребра и параллельной плоскости , можно построить следующим образом:
- Найдем середину ребра , обозначим эту точку . Координаты точки будут ).
- Плоскость, параллельная , будет проходить через точку и параллельно плоскостям, содержащим ребра и .
Сечение:
- Соединяем точку с точками , , , и .
Периметр сечения:
Определим координаты точек сечения:
Найдем длины сторон сечения:
Периметр сечения равен:
.
Таким образом, периметр сечения составляет .