1. Трапеция АВСД (АД и ВС- основания) расположена вне плоскости альфа. Диагонали трапеции параллельны...

1. Для доказательства того, что фигура ЕАВФ является параллелограммом, воспользуемся тем, что диагонали трапеции параллельны плоскости альфа. Поскольку прямые, проходящие через вершины А и В, параллельны друг другу и пересекают плоскость альфа в точках Е и Ф, то стороны ЕА и ВФ будут параллельны и равны соответственно сторонам АВ и СД трапеции. Таким образом, углы при вершинах Е и Ф также будут равны, что гарантирует параллелограмм ЕАВФ.

2. Прямые а и б будут параллельны друг другу, так как они пересекают плоскости альфа и бета параллельно и находятся в одной плоскости. Таким образом, углы между прямыми а и б будут равны, что и является признаком их параллельности.

3. Построим сечение параллелипипеда плоскостью, проходящей через середину ребра ДС и параллельной плоскости АВ1С1. Получим прямоугольник со сторонами, равными 6 и 4 (половина сторон СС1 и АД). Периметр такого прямоугольника будет равен 2*(6+4) = 20. Таким образом, периметр сечения параллелипипеда будет равен 20.

1. Доказательство параллелограмма ЕАВФ

Рассмотрим трапецию (ABCD) с основаниями (AD) и (BC). Диагонали (AC) и (BD) параллельны плоскости (\alpha). Пусть прямые, проведенные через вершины (A) и (B), пересекают плоскость (\alpha) в точках (E) и (F) соответственно.

Шаги доказательства:

1. Пусть диагонали (AC) и (BD) пересекаются в точке (O), которая также параллельна плоскости (\alpha).
2. Прямые (AE) и (BF) параллельны друг другу, так как они обе параллельны плоскости (\alpha).
3. Отрезки (AE) и (BF) пересекают плоскость (\alpha) в точках (E) и (F).
4. Прямые (AB) и (EF) параллельны друг другу, так как они обе параллельны плоскости (\alpha).
5. Четырехугольник (EABF) имеет противоположные стороны (EA) и (BF), а также (AB) и (EF) параллельными, что по определению является признаком параллелограмма.

Таким образом, (EABF) — параллелограмм.

Рисунок:

       A--------------B
      / \            / \
     /   \          /   \
  E /_____ \______F/_____ \
   /       \      /       \
  /         \    /         \
 /           \  /           \
D-------------C

2. Взаимное положение прямых а и б

Плоскости (\alpha) и (\beta) параллельны. Прямая (a) пересекает плоскости (\alpha) и (\beta) в точках (A) и (B) соответственно. Прямая (b) пересекает плоскости (\alpha) и (\beta) в точках (C) и (D) соответственно.

Анализ взаимного положения:

1. Точки (A) и (C) лежат в одной плоскости (\alpha).
2. Точки (B) и (D) лежат в одной плоскости (\beta).
3. Поскольку плоскости (\alpha) и (\beta) параллельны, прямые (a) и (b) пересекают их в соответствующих точках на одинаковом расстоянии друг от друга.
4. Это означает, что прямые (a) и (b) параллельны, потому что они пересекают две параллельные плоскости в одно и то же расстояние.

Таким образом, прямые (a) и (b) параллельны.

3. Построение сечения параллелепипеда

Параллелепипед (ABCD A_1B_1C_1D_1) имеет все грани прямоугольные. Даны следующие размеры:

• (AD = 4)
• (DC = 8)
• (CC_1 = 6)

Сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через середину ребра (DC) и параллельной плоскости (AB_1C_1), можно построить следующим образом:

1. Найдем середину ребра (DC), обозначим эту точку (M). Координаты точки (M) будут ((4, 4, 0)).
2. Плоскость, параллельная (AB_1C_1), будет проходить через точку (M) и параллельно плоскостям, содержащим ребра (AB_1) и (C_1).

Сечение:

• Соединяем точку (M) с точками (A), (B_1), (C_1), и (B).

Периметр сечения:

1. Определим координаты точек сечения:

   • (M = (4, 4, 0))
   • (A' = (0, 0, 0))
   • (B_1' = (0, 8, 6))
   • (C_1' = (4, 8, 6))

2. Найдем длины сторон сечения:

   • (MA' = \sqrt{(4-0)^2 + (4-0)^2 + (0-0)^2} = 4\sqrt{2})
   • (MB_1' = \sqrt{(4-0)^2 + (4-8)^2 + (0-6)^2} = 8)
   • (MC_1' = \sqrt{(4-4)^2 + (4-8)^2 + (0-6)^2} = 8)
   • (A'B_1' = \sqrt{(0-0)^2 + (0-8)^2 + (0-6)^2} = 10)

3. Периметр сечения равен: (P = MA' + MB_1' + MC_1' + A'B_1' = 4\sqrt{2} + 8 + 8 + 10 = 26 + 4\sqrt{2} \approx 31.656).

Таким образом, периметр сечения составляет (26 + 4\sqrt{2}).