1) В треугольнике ABC MN-средняя линия, M принадлежит AB, N принадлежит BC, О - точка пересечения медиан....

Давайте последовательно решим задачу по пунктам.

1) Найти координаты вершин треугольника ( A(x_1, y_1) ), ( B(x_2, y_2) ), ( C(x_3, y_3) )

Из условия нам известно следующее:

• ( M ) — середина стороны ( AB ), т.е.: [ M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) ] При этом координаты ( M(2; -1) ). Значит, мы можем выразить: [ \frac{x_1 + x_2}{2} = 2, \quad \frac{y_1 + y_2}{2} = -1 ] Умножим обе стороны на 2: [ x_1 + x_2 = 4, \quad y_1 + y_2 = -2 \tag{1} ]

• ( N ) — середина стороны ( BC ), т.е.: [ N = \left(\frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2}\right) ] При этом координаты ( N(0; -1) ). Значит: [ \frac{x_2 + x_3}{2} = 0, \quad \frac{y_2 + y_3}{2} = -1 ] Умножим обе стороны на 2: [ x_2 + x_3 = 0, \quad y_2 + y_3 = -2 \tag{2} ]

• ( O ) — точка пересечения медиан. Координаты точки пересечения медиан находятся как центроид треугольника: [ O = \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right) ] При этом ( O(1; -2) ). Значит: [ \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} = 1, \quad \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} = -2 ] Умножим обе стороны на 3: [ x_1 + x_2 + x_3 = 3, \quad y_1 + y_2 + y_3 = -6 \tag{3} ]

Теперь у нас есть три системы уравнений:

1. ( x_1 + x_2 = 4 )
2. ( x_2 + x_3 = 0 )
3. ( x_1 + x_2 + x_3 = 3 )

Решим систему для ( x )-координат:

1. Из уравнения (3): ( x_3 = 3 - x_1 - x_2 ).
2. Подставим это в уравнение (2): ( x_2 + (3 - x_1 - x_2) = 0 ).
3. Упростим: ( 3 - x_1 = 0 ), откуда ( x_1 = 3 ).
4. Подставим ( x_1 = 3 ) в уравнение (1): ( 3 + x_2 = 4 ), откуда ( x_2 = 1 ).
5. Подставим ( x_2 = 1 ) в уравнение (2): ( 1 + x_3 = 0 ), откуда ( x_3 = -1 ).

Итак, ( x_1 = 3 ), ( x_2 = 1 ), ( x_3 = -1 ).

Решим систему для ( y )-координат:

1. Из уравнения (3): ( y_3 = -6 - y_1 - y_2 ).
2. Подставим это в уравнение (2): ( y_2 + (-6 - y_1 - y_2) = -2 ).
3. Упростим: ( -6 - y_1 = -2 ), откуда ( y_1 = -4 ).
4. Подставим ( y_1 = -4 ) в уравнение (1): ( -4 + y_2 = -2 ), откуда ( y_2 = 2 ).
5. Подставим ( y_2 = 2 ) в уравнение (2): ( 2 + y_3 = -2 ), откуда ( y_3 = -4 ).

Итак, ( y_1 = -4 ), ( y_2 = 2 ), ( y_3 = -4 ).

Ответ для координат вершин:

[ A(3; -4), \quad B(1; 2), \quad C(-1; -4) ]

2) Найти длины медиан ( AN ) и ( CM )

Формула длины отрезка:

Если известны координаты двух точек ( (x_1, y_1) ) и ( (x_2, y_2) ), то длина отрезка между ними рассчитывается как: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]

Длина медианы ( AN ):

Вершина ( A(3; -4) ), точка ( N(0; -1) ). Тогда: [ AN = \sqrt{(0 - 3)^2 + (-1 - (-4))^2} = \sqrt{(-3)^2 + (3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} ]

Длина медианы ( CM ):

Вершина ( C(-1; -4) ), точка ( M(2; -1) ). Тогда: [ CM = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-1 - (-4))^2} = \sqrt{(2 + 1)^2 + (3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} ]

Итоговый ответ:

1. Координаты вершин треугольника: [ A(3; -4), \quad B(1; 2), \quad C(-1; -4) ]
2. Длины медиан: [ AN = 3\sqrt{2}, \quad CM = 3\sqrt{2} ]

Чтобы решить задачу, сначала определим координаты вершин треугольника ( ABC ) через координаты точек ( O ), ( M ) и ( N ).

1) Нахождение координат вершин треугольника ABC

Сначала обозначим координаты точек:

• ( O(1, -2) ) — точка пересечения медиан,
• ( M(2, -1) ) — середина стороны ( AB ),
• ( N(0, -1) ) — середина стороны ( BC ).

Поскольку ( M ) и ( N ) являются серединами сторон, мы можем выразить координаты вершин ( A ), ( B ) и ( C ) через координаты ( M ) и ( N ).

Сначала найдем координаты точки ( A ) и ( B ): Пусть координаты ( A ) будут ( A(x_A, y_A) ) и ( B ) будет ( B(x_B, y_B) ).

Координаты середины ( M ) можно выразить через координаты ( A ) и ( B ): [ M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) ] Таким образом, из ( M(2, -1) ) получаем два уравнения: [ \frac{x_A + x_B}{2} = 2 \implies x_A + x_B = 4 \quad (1) ] [ \frac{y_A + y_B}{2} = -1 \implies y_A + y_B = -2 \quad (2) ]

Теперь найдем координаты точки ( C ): Пусть координаты ( C ) будут ( C(x_C, y_C) ). Координаты середины ( N ) выражаются через ( B ) и ( C ): [ N = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right) ] Отсюда из ( N(0, -1) ) получаем: [ \frac{x_B + x_C}{2} = 0 \implies x_B + x_C = 0 \quad (3) ] [ \frac{y_B + y_C}{2} = -1 \implies y_B + y_C = -2 \quad (4) ]

Теперь у нас есть система уравнений (1), (2), (3), (4).

Из уравнения (3) можем выразить ( x_C ): [ x_C = -x_B \quad (5) ] Подставим (5) в (1): [ x_A - x_C = 4 \implies x_A - (-x_B) = 4 \implies x_A + x_B = 4 \quad (1) ] Из уравнения (4) получаем: [ y_C = -2 - y_B \quad (6) ]

Теперь подставим (5) и (6) в уравнение для координат центра масс ( O ): [ O = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right) ] Подставляем значения: [ O = \left( \frac{x_A + x_B - x_B}{3}, \frac{y_A + y_B + (-2 - y_B)}{3} \right) = \left( \frac{x_A}{3}, \frac{y_A - 2}{3} \right) ] Из ( O(1, -2) ) получаем два уравнения: [ \frac{x_A}{3} = 1 \implies x_A = 3 \quad (7) ] [ \frac{y_A - 2}{3} = -2 \implies y_A - 2 = -6 \implies y_A = -4 \quad (8) ]

Теперь подставим ( x_A ) и ( y_A ) в (1) и (2):

1. Из (1): [ 3 + x_B = 4 \implies x_B = 1 \quad (9) ]
2. Из (2): [ -4 + y_B = -2 \implies y_B = 2 \quad (10) ]

Теперь подставим ( x_B ) и ( y_B ) в (5) и (6):

1. Из (5): [ x_C = -1 \quad (11) ]
2. Из (6): [ y_C = -2 - 2 = -4 \quad (12) ]

Таким образом, мы нашли координаты вершин треугольника:

• ( A(3, -4) )
• ( B(1, 2) )
• ( C(-1, -4) )

2) Нахождение длины медиан AN и CM

Длину медианы можно найти по формуле: [ m_a = \sqrt{\frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}} ] где ( a ), ( b ) и ( c ) — длины сторон треугольника.

Сначала найдем длины сторон:

• Сторона ( BC ): [ BC = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (2 - (-4))^2} = \sqrt{(2)^2 + (6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} ]

• Сторона ( AC ): [ AC = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-4 - (-4))^2} = \sqrt{(4)^2 + (0)^2} = 4 ]

• Сторона ( AB ): [ AB = \sqrt{(3 - 1)^2 + (-4 - 2)^2} = \sqrt{(2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} ]

Теперь найдем длину медианы ( AN ): Для медианы ( AN ):

• ( a = BC = 2\sqrt{10} )
• ( b = AC = 4 )
• ( c = AB = 2\sqrt{10} )

Подставляем в формулу: [ m_a = \sqrt{\frac{2(2\sqrt{10})^2 + 2(4)^2 - (2\sqrt{10})^2}{4}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 40 + 2 \cdot 16 - 40}{4}} = \sqrt{\frac{80 + 32 - 40}{4}} = \sqrt{\frac{72}{4}} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} ]

Теперь найдем длину медианы ( CM ): Для медианы ( CM ):

• ( a = AB = 2\sqrt{10} )
• ( b = AC = 4 )
• ( c = BC = 2\sqrt{10} )

Подставляем в формулу: [ m_c = \sqrt{\frac{2(2\sqrt{10})^2 + 2(4)^2 - (2\sqrt{10})^2}{4}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 40 + 2 \cdot 16 - 40}{4}} = \sqrt{\frac{80 + 32 - 40}{4}} = \sqrt{\frac{72}{4}} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} ]

Ответ

1) Координаты вершин:

• ( A(3, -4) )
• ( B(1, 2) )
• ( C(-1, -4) )

2) Длину медиан:

• ( AN = 3\sqrt{2} )
• ( CM = 3\sqrt{2} )