1) В треугольнике ABC угол C = 90 грагусов тангенс A = корень из 15. Найдите косинус A. 2) В треугольнике...

1) Косинус A = 1 / √(1 + tan^2 A) = 1 / √(1 + 15) = 1 / √16 = 1 / 4 2) Синус A = tan A / √(1 + tan^2 A) = (√3 / 3) / √(1 + 3 / 9) = √3 / 3 / √(12 / 9) = √3 / 3 / (2 / 3) = √3 / 2

1) Для нахождения косинуса угла A воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABC: a^2 + b^2 = c^2, где a и b - катеты, а c - гипотенуза. Поскольку угол C = 90 градусов, то по теореме Пифагора получаем a^2 + b^2 = c^2. Поскольку тангенс угла A = a/b = корень из 15, то a = корень из 15, а b = 1. Тогда подставляем значения в теорему Пифагора: (корень из 15)^2 + 1^2 = c^2, 15 + 1 = c^2, 16 = c^2, c = 4. Теперь находим косинус угла A: cos A = b/c = 1/4 = 0.25.

2) Для нахождения синуса угла A воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABC: a^2 + b^2 = c^2, где a и b - катеты, а c - гипотенуза. Поскольку угол C = 90 градусов, то по теореме Пифагора получаем a^2 + b^2 = c^2. Поскольку тангенс угла A = a/b = корень из 3 : на 3 = (корень из 3)/3, то a = корень из 3, а b = 3. Тогда подставляем значения в теорему Пифагора: (корень из 3)^2 + 3^2 = c^2, 3 + 9 = c^2, 12 = c^2, c = 2√3. Теперь находим синус угла A: sin A = a/c = √3/(2√3) = 1/2 = 0.5.

Рассмотрим оба вопроса по порядку.

Вопрос 1:

В треугольнике (ABC) угол (C = 90^\circ), тангенс угла (A = \sqrt{15}). Найдите косинус угла (A).

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике тангенс угла (A) определяется как отношение противолежащего катета (например, (BC)) к прилежащему катету (например, (AC)): (\tan A = \frac{BC}{AC}).

2. Нам известно, что (\tan A = \sqrt{15}). Это означает, что (\frac{BC}{AC} = \sqrt{15}).

3. Используя формулу для тангенса, обозначим: [ BC = k\sqrt{15}, \quad AC = k ] где (k) — некоторый положительный множитель.

4. В прямоугольном треугольнике, используя теорему Пифагора, найдем гипотенузу (AB): [ AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{(k\sqrt{15})^2 + k^2} = \sqrt{15k^2 + k^2} = \sqrt{16k^2} = 4k ]

5. Косинус угла (A) определяется как отношение прилежащего катета (AC) к гипотенузе (AB): [ \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{k}{4k} = \frac{1}{4} ]

Таким образом, (\cos A = \frac{1}{4}).

Вопрос 2:

В треугольнике (ABC) угол (C = 90^\circ), тангенс угла (A = \frac{\sqrt{3}}{3}). Найдите синус угла (A).

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике тангенс угла (A) определяется как отношение противолежащего катета (например, (BC)) к прилежащему катету (например, (AC)): (\tan A = \frac{BC}{AC}).

2. Нам известно, что (\tan A = \frac{\sqrt{3}}{3}). Это означает, что (\frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{3}).

3. Используя формулу для тангенса, обозначим: [ BC = k\sqrt{3}, \quad AC = 3k ] где (k) — некоторый положительный множитель.

4. В прямоугольном треугольнике, используя теорему Пифагора, найдем гипотенузу (AB): [ AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{(k\sqrt{3})^2 + (3k)^2} = \sqrt{3k^2 + 9k^2} = \sqrt{12k^2} = 2k\sqrt{3} ]

5. Синус угла (A) определяется как отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB): [ \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{k\sqrt{3}}{2k\sqrt{3}} = \frac{1}{2} ]

Таким образом, (\sin A = \frac{1}{2}).