1 задача:диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. найдите угол между диагоналями,если угол ABO= 30 градусов. 2 задача: в параллелограмме KMNP проведена биссектриса угла MKR, которая пересекает сторону MN в точке E. а) докажите, что треугольник KME равнобедренный. б) найдите сторону KP,если ME=10см., а периметр параллелограмма равен 52см.
1 задача: Для нахождения угла между диагоналями прямоугольника ABCD, обратим внимание на то, что диагонали прямоугольника равны между собой и делят его на два равных треугольника. Таким образом, угол между диагоналями будет равен удвоенному значению угла ABO, то есть 60 градусов.
2 задача: а) Треугольник KME равнобедренный, так как биссектриса угла MKR делит его на два равных угла, а стороны KM и KE равны (по условию), следовательно, углы при основании равны. б) Пусть KP = x. Так как ME = 10 см, то MK = 2 * ME = 20 см. Периметр параллелограмма равен 52 см, значит, стороны KP и MN в сумме равны 26 см. Так как KP = x, то MN = 26 - x. Также, по условию, ME = EN = 10 см. Из равнобедренности треугольника KME следует, что KM = KE = 20 см. Теперь можем составить уравнение: KP + MN = 26, x + 26 - x = 26, x = 13. Таким образом, сторона KP равна 13 см.
Диагонали прямоугольника пересекаются в точке O и делятся точкой O пополам. Таким образом, точка O является центром прямоугольника и каждая из диагоналей делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника.
Поскольку треугольник ABO — это прямоугольный треугольник (угол AOB — прямой, так как диагонали перпендикулярны), и угол ABO задан равным 30 градусов, то угол OBA также равен 30 градусов (так как в прямоугольнике противоположные углы равны, и углы при основании равнобедренного треугольника равны).
Таким образом, угол между диагоналями прямоугольника ABCD равен 60 градусов (так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, и один из углов прямой).
Биссектриса угла K делит угол MKP на два равных угла MKR и RKP. Поскольку KMNP — параллелограмм, угол MNP равен углу MKP (противоположные углы параллелограмма равны). Так как биссектриса угла K пересекает противоположную сторону MN в точке E, углы MKE и KEM равны, поскольку E лежит на биссектрисе угла MKP. Следовательно, треугольник KME является равнобедренным с основанием KM.
Поскольку треугольник KME равнобедренный, KM = ME = 10 см. В параллелограмме противоположные стороны равны, так что KP = KM = 10 см, а MN = NP. Поскольку периметр параллелограмма равен 52 см, то:
[ KM + MN + NP + KP = 52 ] [ 10 + MN + MN + 10 = 52 ] [ 2MN + 20 = 52 ] [ 2MN = 32 ] [ MN = 16 ]
Таким образом, сторона KP также равна 16 см (поскольку KP = MN).
