1)Дан прямоугольник ABCD . Укажите верные равенства а)векторAO=векторCO б)векторAC=векторВD в)модуль...

1. Дан прямоугольник (ABCD). Укажите верные равенства:

   а) (\vec{AO} = \vec{CO}) - Неверно. Векторы (\vec{AO}) и (\vec{CO}) не равны, поскольку точка (O) (центр прямоугольника) делит диагонали пополам, но они направлены в противоположные стороны.

   б) (\vec{AC} = \vec{BD}) - Верно. Векторы (\vec{AC}) и (\vec{BD}) одинаковы, поскольку они представляют собой диагонали прямоугольника и равны по длине и направлению.

   в) Модуль вектора ( \vec{AC} = ) модуль вектора ( \vec{BD} ) - Верно. Модули (длины) векторов (\vec{AC}) и (\vec{BD}) равны, так как это диагонали прямоугольника.

   г) (\vec{BA} = \vec{CD}) - Неверно. Векторы (\vec{BA}) и (\vec{CD}) равны по длине, но направлены в противоположные стороны.

   е) (\vec{AB} = \vec{CD}) - Верно. Векторы (\vec{AB}) и (\vec{CD}) равны по длине и направлению, так как это противоположные стороны прямоугольника.

   ж) (\vec{OD} = 0.5 \vec{BD}) - Верно. Точка (O) (центр) делит диагональ (BD) пополам, так что вектор (\vec{OD}) равен половине вектора (\vec{BD}).

2. Даны векторы ( \vec{m} = {-2; 1} ) и ( \vec{n} = {2; 4} ). Найдите координаты вектора ( \vec{a} ), если ( \vec{a} = 2\vec{m} - 3\vec{n} ).

   [ \vec{a} = 2 \cdot {-2; 1} - 3 \cdot {2; 4} ] [ \vec{a} = {-4; 2} - {6; 12} ] [ \vec{a} = {-4 - 6; 2 - 12} ] [ \vec{a} = {-10; -10} ] Ответ: а) {-10; -10}.

3. Найдите длину вектора ( \vec{b} = {-5; 3} ).

   Длина вектора ( \vec{b} ) находится по формуле: [ |\vec{b}| = \sqrt{(-5)^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} ] Ответ: ( \sqrt{34} ).

4. Отрезок ( MK ) не пересекает прямую ( a ). Из его концов и середины ( C ) проведены перпендикуляры ( MM_1 ), ( KK_1 ), ( CC_1 ) к прямой ( a ). Найдите ( CC_1 ), если ( MM_1 = 16 ), ( KK_1 = 6 ).

   Поскольку ( C ) — середина отрезка ( MK ), высота ( CC_1 ) будет средней арифметической высот ( MM_1 ) и ( KK_1 ): [ CC_1 = \frac{MM_1 + KK_1}{2} = \frac{16 + 6}{2} = \frac{22}{2} = 11 ] Ответ: 11.

5. Окружность, заданная уравнением ( x^2 + y^2 = 12 ), пересекает положительную полуось ( Ox ) в точке ( M ). Точка ( K ) лежит на окружности, её абсцисса равна -2. Найдите площадь треугольника ( OKM ).

   Центр окружности находится в начале координат ( O(0,0) ), радиус окружности ( R = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} ).

   Точка ( M ) на положительной полуоси ( Ox ) имеет координаты ( (2\sqrt{3}, 0) ).

   Точка ( K ) имеет абсциссу (-2). Найдем ординату ( y ) точки ( K ), подставляя в уравнение окружности: [ (-2)^2 + y^2 = 12 ] [ 4 + y^2 = 12 ] [ y^2 = 8 ] [ y = \pm 2\sqrt{2} ] Таким образом, возможны точки ( K(-2, 2\sqrt{2}) ) и ( K(-2, -2\sqrt{2}) ).

   Рассмотрим треугольник ( OKM ) с вершинами в точках ( O(0,0) ), ( K(-2, 2\sqrt{2}) ) и ( M(2\sqrt{3}, 0) ).

   Площадь треугольника с вершинами ( (x_1, y_1) ), ( (x_2, y_2) ), ( (x_3, y_3) ) можно найти по формуле: [ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| ] Подставим координаты: [ S = \frac{1}{2} \left| 0(2\sqrt{2} - 0) + (-2)(0 - 0) + 2\sqrt{3}(0 - 2\sqrt{2}) \right| ] [ S = \frac{1}{2} \left| 0 + 0 + 2\sqrt{3}(-2\sqrt{2}) \right| ] [ S = \frac{1}{2} \left| -4\sqrt{6} \right| ] [ S = 2\sqrt{6} ] Аналогично, площадь треугольника с вершинами ( (0,0) ), ( (-2, -2\sqrt{2}) ), ( (2\sqrt{3}, 0) ) будет: [ S = \frac{1}{2} \left| 0(-2\sqrt{2} - 0) + (-2)(0 - 0) + 2\sqrt{3}(0 + 2\sqrt{2}) \right| ] [ S = \frac{1}{2} \left| 0 + 0 + 2\sqrt{3}(2\sqrt{2}) \right| ] [ S = \frac{1}{2} \left| 4\sqrt{6} \right| ] [ S = 2\sqrt{6} ]

   Таким образом, площадь треугольника ( OKM ) в любом случае будет равна ( 2\sqrt{6} ).

   Ответ: ( 2\sqrt{6} ).

1) а) Верное равенство: вектор AO = вектор CO, так как они равны по направлению и длине. б) Неверное равенство: вектор AC ≠ вектор BD, так как они имеют разные направления и длины. в) Верное равенство: модуль вектора AC = модуль вектора BD, так как они имеют равные длины. г) Неверное равенство: вектор BA ≠ вектор CD, так как они имеют разные направления и длины. е) Неверное равенство: вектор AB ≠ вектор CD, так как они имеют разные направления и длины. ж) Верное равенство: вектор OD = 0,5 вектор BD, так как они имеют равные направления, а длина вектора OD в два раза меньше длины вектора BD.

2) а) Вычислим координаты вектора а: а = 2m - 3n = 2 (-2; 1) - 3 (2; 4) = (-4; 2) - (6; 12) = (-10; -10). Ответ: а) {-10; -10}.

3) Длина вектора b = √((-5)^2 + 3^2) = √(25 + 9) = √34.

4) Поскольку отрезок MK не пересекает прямую а, треугольник MKC прямоугольный. Таким образом, CC1 = √(MM1^2 - KK1^2) = √(16^2 - 6^2) = √(256 - 36) = √220.

5) Площадь треугольника OKM равна половине произведения основания и высоты, где основание - отрезок OK, а высота - расстояние от точки М до прямой Ox. Так как абсцисса точки K равна -2, то координаты точки М равны (-2; 0). Тогда длина отрезка OK равна 2, а расстояние от точки М до Ox равно 2. Площадь треугольника OKM равна 0.5 2 2 = 2.