1)даны точки К(2;1),М(0;5)Р(-1;-3)Т(-3$1)/ а)Докажите что КМ=РТ. б)Вычеслите координаты вектораТК+1/2КМ. в)Вычеслите обспалютною велечину вектора РТ. 2)Вычеслите коинуус угла между векторами ТКиРТ заданым в задаче 1. 3)Найдите значение а прикотором векторы м(а;-1,2)и к (-8;6)коллинеарны. 4)Начертите параллелограмм АВСД.Точки К и М-середины его строн АДиДС соответствено.Выразить вектор МК через векторы АДиАв. Помгите пожалуйста.=)
Давайте разберем каждую из задач по порядку:
Сначала найдем длины отрезков ( KM ) и ( RT ).
Длина отрезка ( KM ): [ KM = \sqrt{(0 - 2)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ]
Длина отрезка ( RT ): [ RT = \sqrt{(-3 + 1)^2 + (1 + 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ]
Таким образом, ( KM = RT ).
Координаты вектора ( \vec{TK} ): [ \vec{TK} = (2 - (-3), 1 - 1) = (5, 0) ]
Координаты вектора ( \vec{KM} ): [ \vec{KM} = (0 - 2, 5 - 1) = (-2, 4) ]
Координаты вектора ( \frac{1}{2}\vec{KM} ): [ \frac{1}{2}\vec{KM} = \left(\frac{-2}{2}, \frac{4}{2}\right) = (-1, 2) ]
Сложим ( \vec{TK} ) и ( \frac{1}{2}\vec{KM} ): [ \vec{TK} + \frac{1}{2}\vec{KM} = (5 + (-1), 0 + 2) = (4, 2) ]
Мы уже нашли длину ( RT ) ранее: [ |\vec{RT}| = 2\sqrt{5} ]
Координаты вектора ( \vec{RT} ): [ \vec{RT} = (-3 + 1, 1 + 3) = (-2, 4) ]
Вычислим скалярное произведение ( \vec{TK} \cdot \vec{RT} ): [ \vec{TK} \cdot \vec{RT} = 5 \cdot (-2) + 0 \cdot 4 = -10 ]
Абсолютная величина вектора ( \vec{TK} ): [ |\vec{TK}| = \sqrt{5^2 + 0^2} = 5 ]
Абсолютная величина вектора ( \vec{RT} ) (как нашли ранее): [ |\vec{RT}| = 2\sqrt{5} ]
Косинус угла между векторами: [ \cos \theta = \frac{\vec{TK} \cdot \vec{RT}}{|\vec{TK}| \cdot |\vec{RT}|} = \frac{-10}{5 \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{-10}{10\sqrt{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} ]
Векторы коллинеарны, если один из них является линейной комбинацией другого, то есть если существует число ( \lambda ) такое, что: [ (a, -1, 2) = \lambda(-8, 6) ]
Рассмотрим проекции на оси: [ a = -8\lambda ] [ -1 = 6\lambda ]
Из второго уравнения: [ \lambda = -\frac{1}{6} ]
Подставим найденное значение (\lambda) в первое уравнение: [ a = -8 \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} ]
Поскольку ( K ) — середина ( AD ), и ( M ) — середина ( DC ), мы можем выразить: [ \vec{MK} = \vec{KD} + \vec{DC} ]
Так как ( K ) и ( M ) — середины, вектор ( \vec{KD} = \frac{1}{2}\vec{AD} ) и ( \vec{DC} = \frac{1}{2}\vec{AB} ).
Таким образом: [ \vec{MK} = \frac{1}{2}\vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{AB}) ]
Надеюсь, это поможет вам! Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.
1) а) Для доказательства того, что KM = RT, можно вычислить длины отрезков KM и RT по формуле расстояния между двумя точками в пространстве. Для этого используем формулу: d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2), где d - расстояние между точками, (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек. Подставив координаты точек K, M, R, T, получаем, что KM = RT.
б) Для вычисления координат вектора ТК + 1/2 КМ, нужно сложить соответствующие координаты векторов ТК и 1/2 КМ. Получим координаты нового вектора.
в) Для вычисления абсолютной величины вектора RT, используем формулу: |RT| = √(x^2 + y^2), где x и y - координаты вектора RT.
2) Для вычисления косинуса угла между векторами ТК и RT можно воспользоваться формулой для косинуса угла между векторами: cos(θ) = (ТК RT) / (|ТК| |RT|), где θ - угол между векторами, * - скалярное произведение векторов, | | - абсолютная величина векторов.
3) Для того чтобы векторы m(а;-1,2) и k(-8;6) были коллинеарными, они должны быть параллельными или коллинеарными, то есть лежать на одной прямой. Это возможно, если координаты векторов пропорциональны друг другу. Таким образом, значение а можно найти, подобрав такое, при котором отношение координат векторов совпадает.
4) Чтобы выразить вектор МК через векторы АД и АВ, можно воспользоваться свойством параллелограмма, что диагонали делятся пополам. Таким образом, вектор МК будет равен полусумме векторов АД и АВ.
