1)даны точки К$2;1$,М$0;5$Р$-1;-3$Т$-3\$1$/ а)Докажите что КМ=РТ. б)Вычеслите координаты вектораТК+1/2КМ....

Давайте разберем каждую из задач по порядку:

1) Даны точки $K(2,1$ ), $M(0,5$ ), $R(-1,-3$ ), $T(-3,1$ ).

а) Докажите, что $KM=RT$.

Сначала найдем длины отрезков $KM$ и $RT$.

Длина отрезка $KM$: $KM=\sqrt{(0-2{)}^2+(5-1{)}^2}=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

Длина отрезка $RT$: $RT=\sqrt{(-3+1{)}^2+(1+3{)}^2}=\sqrt{(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

Таким образом, $KM=RT$.

б) Вычислите координаты вектора $\overrightarrow{TK}+\frac{1}{2}\overrightarrow{KM}$.

Координаты вектора $\overrightarrow{TK}$: $\overrightarrow{TK}=(2-(-3),1-1)=(5,0)$

Координаты вектора $\overrightarrow{KM}$: $\overrightarrow{KM}=(0-2,5-1)=(-2,4)$

Координаты вектора $\frac{1}{2}\overrightarrow{KM}$: $\frac{1}{2}\overrightarrow{KM}=(\frac{-2}{2},\frac{4}{2})=(-1,2)$

Сложим $\overrightarrow{TK}$ и $\frac{1}{2}\overrightarrow{KM}$: $\overrightarrow{TK}+\frac{1}{2}\overrightarrow{KM}=(5+(-1),0+2)=(4,2)$

в) Вычислите абсолютную величину вектора $\overrightarrow{RT}$.

Мы уже нашли длину $RT$ ранее: $|\overrightarrow{RT}|=2\sqrt{5}$

2) Вычислите косинус угла между векторами $\overrightarrow{TK}$ и $\overrightarrow{RT}$.

Координаты вектора $\overrightarrow{RT}$: $\overrightarrow{RT}=(-3+1,1+3)=(-2,4)$

Вычислим скалярное произведение $\overrightarrow{TK}\cdot \overrightarrow{RT}$: $\overrightarrow{TK}\cdot \overrightarrow{RT}=5\cdot (-2)+0\cdot 4=-10$

Абсолютная величина вектора $\overrightarrow{TK}$: $|\overrightarrow{TK}|=\sqrt{5^2+0^2}=5$

Абсолютная величина вектора $\overrightarrow{RT}$ $какнашлиранее$: $|\overrightarrow{RT}|=2\sqrt{5}$

Косинус угла между векторами: $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{TK}\cdot \overrightarrow{RT}}{|\overrightarrow{TK}|\cdot |\overrightarrow{RT}|}=\frac{-10}{5\cdot 2\sqrt{5}}=\frac{-10}{10\sqrt{5}}=-\frac{1}{\sqrt{5}}$

3) Найдите значение $a$, при котором векторы $\overrightarrow{m}(a,-1,2$ ) и $\overrightarrow{k}(-8,6$ ) коллинеарны.

Векторы коллинеарны, если один из них является линейной комбинацией другого, то есть если существует число $\lambda$ такое, что: $(a,-1,2)=\lambda (-8,6)$

Рассмотрим проекции на оси: $a=-8\lambda$ $-1=6\lambda$

Из второго уравнения: $\lambda =-\frac{1}{6}$

Подставим найденное значение $\lambda$ в первое уравнение: $a=-8(-\frac{1}{6})=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$

4) Начертите параллелограмм $ABCD$. Точки $K$ и $M$ — середины его сторон $AD$ и $DC$ соответственно. Выразите вектор $\overrightarrow{MK}$ через векторы $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{AB}$.

Поскольку $K$ — середина $AD$, и $M$ — середина $DC$, мы можем выразить: $\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{KD}+\overrightarrow{DC}$

Так как $K$ и $M$ — середины, вектор $\overrightarrow{KD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

Таким образом: $\overrightarrow{MK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB})$

Надеюсь, это поможет вам! Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.

1) а) Для доказательства того, что KM = RT, можно вычислить длины отрезков KM и RT по формуле расстояния между двумя точками в пространстве. Для этого используем формулу: d = √$(x2-x1$^2 + $y2-y1$^2), где d - расстояние между точками, $x1,y1$ и $x2,y2$ - координаты точек. Подставив координаты точек K, M, R, T, получаем, что KM = RT.

б) Для вычисления координат вектора ТК + 1/2 КМ, нужно сложить соответствующие координаты векторов ТК и 1/2 КМ. Получим координаты нового вектора.

в) Для вычисления абсолютной величины вектора RT, используем формулу: |RT| = √$x^2+y^2$, где x и y - координаты вектора RT.

2) Для вычисления косинуса угла между векторами ТК и RT можно воспользоваться формулой для косинуса угла между векторами: cos$\theta$ = (ТК RT) / (|ТК| |RT|), где θ - угол между векторами, * - скалярное произведение векторов, | | - абсолютная величина векторов.

3) Для того чтобы векторы m$а;-1,2$ и k$-8;6$ были коллинеарными, они должны быть параллельными или коллинеарными, то есть лежать на одной прямой. Это возможно, если координаты векторов пропорциональны друг другу. Таким образом, значение а можно найти, подобрав такое, при котором отношение координат векторов совпадает.

4) Чтобы выразить вектор МК через векторы АД и АВ, можно воспользоваться свойством параллелограмма, что диагонали делятся пополам. Таким образом, вектор МК будет равен полусумме векторов АД и АВ.