Конечно, давайте решим каждый из заданных вопросов.
1. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 25 см и 60 см.
Используем теорему Пифагора: ( c^2 = a^2 + b^2 ), где ( c ) — гипотенуза, а ( a ) и ( b ) — катеты.
[
c^2 = 25^2 + 60^2 = 625 + 3600 = 4225
]
[
c = \sqrt{4225} = 65 \text{ см}
]
2. Сторона ромба равна 10 см, а одна из его диагоналей — 16 см. Найдите вторую диагональ.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Обозначим диагонали как ( d_1 ) и ( d_2 ). Из условия ( d_1 = 16 ) см.
Пусть ( d_2 ) — искомая диагональ. Половины диагоналей будут ( d_1/2 = 8 ) см и ( d_2/2 ).
Используем теорему Пифагора для одного из треугольников, образованных диагоналями:
[
10^2 = 8^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2
]
[
100 = 64 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2
]
[
\left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 36
]
[
\frac{d_2}{2} = 6
]
[
d_2 = 12 \text{ см}
]
3. В треугольнике ABC ∠В = 45°, высота AN делит сторону ВС на отрезки BN = 8 см и NC = 6 см. Найдите площадь треугольника ABC и сторону АС.
Сначала найдем длину стороны BC:
[
BC = BN + NC = 8 + 6 = 14 \text{ см}
]
Высота AN делит треугольник на два прямоугольных треугольника. Поскольку ∠B = 45°, угол ∠BNA = 45°. В прямоугольном треугольнике с углом 45° катеты равны:
[
AN = BN \cdot \tan 45° = 8 \text{ см}
]
Теперь найдем площадь треугольника ABC:
[
S = \frac{1}{2} \times BC \times AN = \frac{1}{2} \times 14 \times 8 = 56 \text{ см}^2
]
Для нахождения стороны AC используем теорему Пифагора в треугольнике ANC:
[
AC^2 = AN^2 + NC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100
]
[
AC = \sqrt{100} = 10 \text{ см}
]
4. Диагональ АС прямоугольной трапеции ABCD перпендикулярна боковой стороне CD и составляет угол в 60° с основанием AD. Найдите площадь трапеции, если AD = 24 см.
Обозначим BC = a (верхнее основание), AD = b (нижнее основание) = 24 см, и высота h = CD. Поскольку ∠CAD = 60°, диагональ AC — гипотенуза треугольника CAD, а CD — противолежащий катет.
[
CD = AD \cdot \tan(60°) = 24 \cdot \sqrt{3} = 24\sqrt{3} \text{ см}
]
Теперь нужно найти длину верхнего основания BC. Поскольку AC перпендикулярна CD, то BC = AD - CD \cdot \cos(60°), а угол при основании AD равен 60°:
[
BC = AD - CD \cdot \cos(60°) = 24 - 24\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 24 - 12\sqrt{3}
]
Площадь трапеции:
[
S = \frac{1}{2} \times (AD + BC) \times h = \frac{1}{2} \times \left(24 + (24 - 12\sqrt{3})\right) \times 24\sqrt{3}
]
[
S = \frac{1}{2} \times (48 - 12\sqrt{3}) \times 24\sqrt{3}
]
[
S = 12 \times (48 - 12\sqrt{3}) \times \sqrt{3}
]
Сокращаем и упрощаем:
[
S = 12 \times 48\sqrt{3} - 12 \times 12 \times 3 = 576\sqrt{3} - 432
]
5. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Найдите площадь и периметр ромба.
Площадь ромба:
[
S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 96 \text{ см}^2
]
Стороны ромба равны:
[
a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{12}{2}\right)^2 + \left(\frac{16}{2}\right)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10 \text{ см}
]
Периметр ромба:
[
P = 4 \times a = 4 \times 10 = 40 \text{ см}
]
6. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13 см, а высота, проведенная к основанию — 5 см. Найдите площадь этого треугольника.
Обозначим основание треугольника как ( b ). Высота делит основание пополам, и каждая половина основания составляет:
[
\frac{b}{2}
]
Используем теорему Пифагора для одного из половинчатых треугольников:
[
13^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 + 5^2
]
[
169 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 + 25
]
[
\left(\frac{b}{2}\right)^2 = 144
]
[
\frac{b}{2} = 12
]
[
b = 24 \text{ см}
]
Площадь треугольника:
[
S = \frac{1}{2} \times b \times h = \frac{1}{2} \times 24 \times 5 = 60 \text{ см}^2
]
Эти решения основаны на базовых принципах геометрии и применении теорем Пифагора и тригонометрии для нахождения длин сторон и площадей фигур.
