1).найдите координаты и длину вектора а,если а=1/3m-n,m(-3;6) .n(2;-2) 2). Напишите уравнение окружности...

Давайте подробно разберем каждый из ваших вопросов.

1) Для нахождения координат вектора ( \mathbf{a} = \frac{1}{3}\mathbf{m} - \mathbf{n} ), где ( \mathbf{m}(-3;6) ) и ( \mathbf{n}(2;-2) ), сначала найдем координаты векторов ( \mathbf{m} ) и ( \mathbf{n} ):

• ( \mathbf{m} = (-3, 6) )
• ( \mathbf{n} = (2, -2) )

Тогда ( \frac{1}{3}\mathbf{m} = \left(\frac{1}{3}(-3), \frac{1}{3}(6)\right) = (-1, 2) ).

Поэтому ( \mathbf{a} = (-1, 2) - (2, -2) = (-1-2, 2+2) = (-3, 4) ).

Длина вектора ( \mathbf{a} ) вычисляется по формуле: ( |\mathbf{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ).

2) Уравнение окружности с центром в точке ( A(-3, 2) ) и радиусом, равным расстоянию от ( A ) до ( B(0, -2) ):

• Расстояние между ( A ) и ( B ) равно ( \sqrt{(-3-0)^2 + (2+2)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 ).

Уравнение окружности имеет вид ( (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 25 ).

3) Для треугольника ( \triangle MNK ) с вершинами ( M(-6, 1) ), ( N(2, 4) ), и ( K(2, -2) ): а) Проверим равенство длин сторон ( MN ) и ( NK ):

• ( MN = \sqrt{(-6-2)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} )
• ( NK = \sqrt{(2-2)^2 + (4+2)^2} = \sqrt{36} = 6 )
• ( MK = \sqrt{(-6-2)^2 + (1+2)^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} )

Так как ( MN = MK ), треугольник равнобедренный.

б) Для нахождения высоты из ( M ) на ( NK ), используем формулу высоты через площадь треугольника, выраженную через координаты вершин:

• Площадь ( \triangle MNK ) равна ( \frac{1}{2} | -6(4+2) + 2(1+2) + 2(1-4) | = \frac{1}{2} | -36 + 6 - 6 | = 18 ).

Высота ( h ) через основание ( NK ) (длина ( NK = 6 )): ( h = \frac{2 \times \text{Площадь}}{\text{Длина основания}} = \frac{2 \times 18}{6} = 6 ).

4) Для нахождения координат точки ( N ) на оси абсцисс, равноудаленной от ( P(-1, 3) ) и ( K(0, 2) ):

• Координаты ( N ) будут иметь вид ( N(x, 0) ).
• Расстояние от ( N ) до ( P ) и ( K ) должно быть одинаковым, т.е. ( \sqrt{(x+1)^2 + 3^2} = \sqrt{(x-0)^2 + 2^2} ).

После возведения в квадрат и упрощения получаем: ( x^2 + 2x + 10 = x^2 + 4 ), ( 2x + 10 = 4 ), ( 2x = -6 ), ( x = -3 ).

Таким образом, ( N(-3, 0) ).

1) Для нахождения координат вектора a сначала найдем разность координат точек m и n: a = (m_x - n_x, m_y - n_y) = (-3 - 2, 6 - (-2)) = (-5, 8)

Теперь найдем длину вектора a: |a| = √((-5)^2 + 8^2) = √(25 + 64) = √89

Таким образом, координаты вектора a равны (-5, 8), а его длина равна √89.

2) Уравнение окружности с центром в точке A(-3, 2) и проходящей через точку B(0, -2) имеет вид: (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = r^2

Подставим координаты точки B в уравнение: (0 + 3)^2 + (-2 - 2)^2 = r^2 3^2 + (-4)^2 = r^2 9 + 16 = r^2 25 = r^2

Итак, уравнение окружности будет: (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 25

3) a) Для доказательства равнобедренности треугольника MKN нужно проверить равенство длин сторон MN и MK (или MN и KN, так как треугольник равносторонний). Длины сторон можно найти с помощью формулы длины отрезка между двумя точками: d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Длины сторон MN и MK равны: |MN| = √((2 - (-6))^2 + (4 - 1)^2) = √(8^2 + 3^2) = √(64 + 9) = √73 |MK| = √((2 - (-6))^2 + (-2 - 1)^2) = √(8^2 + 3^2) = √(64 + 9) = √73

Таким образом, треугольник MKN равнобедренный.

б) Чтобы найти высоту, проведенную из вершины M, нужно найти уравнение прямой, проходящей через точки N и K: Уравнение прямой: y = mx + c

где m - коэффициент наклона, а c - свободный член. Найдем коэффициент наклона m: m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (4 - 1) / (2 - (-6)) = 3 / 8

Теперь найдем уравнение прямой: y = (3/8)x + c

Подставим координаты точки N (2, 4) в уравнение: 4 = (3/8) * 2 + c 4 = 3/4 + c c = 4 - 3/4 c = 13/4

Итак, уравнение прямой, проходящей через точки N и K, равно: y = (3/8)x + 13/4

Теперь найдем координаты точки M, которая является основанием высоты. Перпендикуляр проводится из точки M к прямой, проходящей через точки N и K. Найдем точку пересечения прямой, проходящей через N и K, и прямой, проходящей через M и перпендикулярной прямой N-K.

4) Для нахождения координат точки N, лежащей на оси абсцисс и равноудаленной от точек P и K, мы должны найти середину отрезка PK, котор лежит на оси абсцисс. Сначала найдем координаты середины отрезка PK: (x, y) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2) = ((-1 + 0) / 2, (3 + 2) / 2) = (-1/2, 5/2)

Теперь найдем координаты точки N, которая равноудалена от точек P и K и лежит на оси абсцисс: N(x, y) = (-1/2, 0)

Итак, координаты точки N равны (-1/2, 0).