1)Найдите неизвестные углы треугольника ABC, если AB=5,BC=6,AC=7. В ответ запишите сумму градусных мер...

1) Для нахождения неизвестных углов треугольника ABC воспользуемся теоремой косинусов. Обозначим углы треугольника как A, B и C. Тогда из теоремы косинусов получаем: cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc cos(B) = (a^2 + c^2 - b^2) / 2ac cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab

Подставляем известные значения сторон треугольника: cos(A) = (6^2 + 7^2 - 5^2) / (267) = 48/84 = 4/7 cos(B) = (5^2 + 7^2 - 6^2) / (257) = 48/70 = 24/35 cos(C) = (5^2 + 6^2 - 7^2) / (256) = 11/15

Теперь находим углы: A = arccos(4/7) ≈ 46.4° B = arccos(24/35) ≈ 48.9° C = arccos(11/15) ≈ 85.7°

Сумма наибольшего и наименьшего углов: 46.4° + 85.7° = 132.1°

2) Поскольку треугольник ABC равнобедренный (AB = BC), то биссектриса BK будет являться медианой и высотой. Так как угол B равен 40°, то угол между биссектрисой и стороной BC также будет 40°. Таким образом, треугольник ABK является прямоугольным, а значит, биссектриса BK будет равна 6 / cos(40°) ≈ 8.3 (округляем до целых).

3) Для нахождения угла C воспользуемся теоремой синусов. Обозначим угол C как α. Тогда: sin(α) / 9 = sin(70°) / 6 sin(α) = 9 sin(70°) / 6 α = arcsin(9 sin(70°) / 6) ≈ 63.6°

Ответ: угол C ≈ 63.6°.

Давайте рассмотрим каждый из вопросов по очереди.

Вопрос 1

Найдите неизвестные углы треугольника ABC, если ( AB = 5 ), ( BC = 6 ), ( AC = 7 ). В ответ запишите сумму градусных мер наибольшего и наименьшего углов.

Для решения этого вопроса можно воспользоваться теоремой косинусов, которая гласит: [ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) ]

Обозначим углы напротив сторон ( AB ), ( BC ), ( AC ) как ( \alpha ), ( \beta ) и ( \gamma ) соответственно.

Найдем угол (\alpha):

[ \cos(\alpha) = \frac{BC^2 + AC^2 - AB^2}{2 \cdot BC \cdot AC} = \frac{6^2 + 7^2 - 5^2}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{36 + 49 - 25}{84} = \frac{60}{84} = \frac{5}{7} ]

[ \alpha = \arccos\left( \frac{5}{7} \right) ]

Найдем угол (\beta):

[ \cos(\beta) = \frac{AC^2 + AB^2 - BC^2}{2 \cdot AC \cdot AB} = \frac{7^2 + 5^2 - 6^2}{2 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{49 + 25 - 36}{70} = \frac{38}{70} = \frac{19}{35} ]

[ \beta = \arccos\left( \frac{19}{35} \right) ]

Найдем угол (\gamma):

[ \gamma = 180^\circ - \alpha - \beta ]

Теперь вычислим ( \alpha ) и ( \beta ) в градусах:

[ \alpha \approx 44.42^\circ ] [ \beta \approx 56.25^\circ ] [ \gamma = 180^\circ - 44.42^\circ - 56.25^\circ \approx 79.33^\circ ]

Наибольший угол здесь (\gamma = 79.33^\circ), а наименьший (\alpha = 44.42^\circ).

Сумма наибольшего и наименьшего углов: [ 79.33 + 44.42 \approx 123.75^\circ ]

Вопрос 2

В треугольнике ( ABC ), ( AB = BC = 6 ), ( \angle B = 40^\circ ). Найдите биссектрису ( BK ). Ответ округлите до целых.

Так как ( AB = BC ), треугольник ( ABC ) является равнобедренным, и углы при основании равны. Это означает, что углы ( \angle A ) и ( \angle C ) равны и составляют: [ \angle A = \angle C = \frac{180^\circ - \angle B}{2} = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ ]

Биссектриса ( BK ) равнобедренного треугольника делит угол ( \angle B ) пополам, и также делит сторону ( AC ) пополам.

По теореме о биссектрисе: [ BK = \sqrt{AB \cdot BC \cdot \left( 1 - \frac{AC^2}{(AB + BC)^2} \right)} ]

Сначала найдем длину ( AC ): [ AC = 2 \cdot AB \cdot \sin\left( \frac{\angle B}{2} \right) ] [ AC = 2 \cdot 6 \cdot \sin(20^\circ) \approx 4.10 ]

Теперь найдем ( BK ): [ BK = \sqrt{6 \cdot 6 \cdot \left( 1 - \frac{4.10^2}{(6+6)^2} \right)} ] [ BK = \sqrt{36 \cdot \left( 1 - \frac{16.81}{144} \right)} ] [ BK = \sqrt{36 \cdot (1 - 0.1168)} ] [ BK = \sqrt{36 \cdot 0.8832} ] [ BK \approx \sqrt{31.7952} \approx 5.64 ]

Ответ округленный до целых: [ BK \approx 6 ]

Вопрос 3

Найдите неизвестные стороны и углы треугольника (ABC), если ( AB = 9 ), ( BC = 6 ), ( \angle B = 70^\circ ). В ответ запишите градусную меру угла ( C ).

Используем теорему косинусов для нахождения стороны ( AC ): [ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B) ] [ AC^2 = 9^2 + 6^2 - 2 \cdot 9 \cdot 6 \cdot \cos(70^\circ) ] [ AC^2 = 81 + 36 - 108 \cdot 0.342 ] [ AC^2 = 117 - 36.936 ] [ AC^2 = 80.064 ] [ AC \approx \sqrt{80.064} \approx 8.95 ]

Теперь находим углы ( \angle A ) и ( \angle C ) с помощью теоремы синусов: [ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} ] [ \frac{6}{\sin A} = \frac{8.95}{\sin 70^\circ} ] [ \sin A = \frac{6 \cdot \sin 70^\circ}{8.95} ] [ \sin A = \frac{6 \cdot 0.9397}{8.95} ] [ \sin A \approx 0.629 ] [ A \approx \arcsin(0.629) \approx 39^\circ ]

Теперь находим угол ( C ): [ \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B ] [ \angle C = 180^\circ - 39^\circ - 70^\circ \approx 71^\circ ]

Ответ: Градусная мера угла ( C ) равна ( 71^\circ ).