1)Найдите угол между лучом ОВ и положительной полуосью Ох,если В(3;3). 2)Решите треугольник BCD,если...

Конечно, давайте разберем каждый из вопросов по отдельности.

1) Угол между лучом ОВ и положительной полуосью Ох, если В(3;3).

Для определения угла между лучом ОВ и положительной полуосью Ох, начнем с вектора ( \overrightarrow{OB} ). Координаты точки O (начало координат) — это (0, 0), а координаты точки B — это (3, 3). Значит, вектор ( \overrightarrow{OB} ) имеет координаты (3, 3).

Угол ( \theta ) между вектором ( \overrightarrow{OB} ) и положительной полуосью Ох можно найти с помощью косинуса угла:

[ \cos \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} ]

где ( x = 3 ) и ( y = 3 ). Тогда:

[ \cos \theta = \frac{3}{\sqrt{3^2 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{18}} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Это значение косинуса соответствует углу ( \theta = 45^\circ ).

2) Решение треугольника BCD, если угол B = 45°, угол D = 60°, BC = (\sqrt{3}) см.

В треугольнике сумма углов равна 180°, следовательно, угол C можно найти как:

[ \angle C = 180^\circ - \angle B - \angle D = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ ]

Теперь, чтобы найти другие стороны треугольника, используем теорему синусов:

[ \frac{BC}{\sin \angle D} = \frac{CD}{\sin \angle B} = \frac{BD}{\sin \angle C} ]

Подставляем известные значения:

[ \frac{\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = \frac{CD}{\sin 45^\circ} = \frac{BD}{\sin 75^\circ} ]

Сначала найдем CD:

[ \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{CD}{\frac{\sqrt{2}}{2}} ]

[ CD = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} ]

Теперь найдем BD:

[ \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{BD}{\sin 75^\circ} ]

(\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}).

[ BD = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = 2 \cdot \frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} ]

3) Косинус угла A треугольника ABC, если A(3,9), B(0,6), C(4,2).

Сначала найдем вектора ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{AC} ):

[ \overrightarrow{AB} = (0 - 3, 6 - 9) = (-3, -3) ] [ \overrightarrow{AC} = (4 - 3, 2 - 9) = (1, -7) ]

Косинус угла A можно найти через скалярное произведение векторов ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{AC} ):

[ \cos A = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} ]

Скалярное произведение:

[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-3) \cdot 1 + (-3) \cdot (-7) = -3 + 21 = 18 ]

Длины векторов:

[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} ]

[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} ]

Подставляем в формулу:

[ \cos A = \frac{18}{3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} ]

Таким образом, косинус угла A равен (\frac{3}{5}).

1) Угол между лучом ОВ и положительной полуосью Ох равен 45 градусам. 2) Треугольник BCD - равнобедренный, со стороной BC равной √3 см, углами B=45⁰ и D=60⁰. 3) Косинус угла А треугольника АВС равен -1/√10.

1) Для нахождения угла между лучом ОВ и положительной полуосью Ох, используем формулу для нахождения угла между векторами: cos(θ) = (a b) / (|a| |b|), где a и b - координаты векторов.

Вектор ОВ = (3-0; 3-0) = (3; 3), Вектор положительной полуоси Ох = (1; 0).

Теперь находим косинус угла θ: cos(θ) = ((31) + (30)) / (√(3^2 + 3^2) √(1^2 + 0^2)) = 3 / (3√2 1) = 1 / √2 = √2 / 2.

Угол θ = arccos(√2 / 2) = 45⁰.

2) Треугольник BCD - равнобедренный треугольник, так как углы B и D равны. Также, из условия видим, что угол В = 45⁰, угол D = 60⁰. Так как синус угла 60⁰ равен √3 / 2, то высота треугольника от вершины C к основанию BD равна √3 см. Таким образом, высота и сторона ВС образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой √3 и катетом 1 (половина стороны ВС), откуда находим катет CD = 1 см. Таким образом, треугольник BCD имеет стороны BD = CD = 1 см, а сторона BC = √3 см.

3) Для нахождения косинуса угла A в треугольнике АВС, используем формулу косинуса угла: cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc), где a, b, c - длины сторон треугольника, противолежащие углу A.

Для треугольника АВС: AB = √((3-0)^2 + (9-6)^2) = √(9 + 9) = √18, AC = √((4-0)^2 + (2-6)^2) = √(16 + 16) = √32, BC = √((4-3)^2 + (2-9)^2) = √(1 + 49) = √50.

Теперь находим косинус угла A: cos(A) = (18 + 32 - 50) / (2√18√32) = 0 / (2√576) = 0.

Итак, косинус угла A в треугольнике АВС равен 0.