1.УГЛЫ ABC и ADC ВПИСАНЫ В ОДНУ ОКРУЖНОСТЬ . НАЙДИТЕ ГРАДУСНУЮ МЕРУ УГЛА ABC, ЕСЛИ УГОЛ ADC=110ГРАДУСОВ...

1. Для углов ABC и ADC, вписанных в одну окружность, выполняется свойство: угол, опирающийся на одну и ту же дугу, равен половине угла, опирающегося на другую дугу.

а) Если точки B и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой AC, то угол ABC равен углу ADC, следовательно, угол ABC = 110 градусов.

б) Если точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC, то угол ABC = 180° - угол ADC, следовательно, угол ABC = 180° - 110° = 70 градусов.

1. Для нахождения длины хорды DE, можно использовать теорему о пересечении хорд, которая гласит, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: ( DX \cdot XE = MX \cdot XN ).

Обозначим ( DX = 3k ) и ( XE = 4k ) (так как DX:MN = 3:4). Тогда ( DE = DX + XE = 3k + 4k = 7k ).

Согласно теореме, ( DX \cdot XE = MX \cdot XN ):

( 3k \cdot 4k = 2 \cdot 24 )
( 12k^2 = 48 )
( k^2 = 4 )
( k = 2 ).

Теперь можно найти длину DE:

( DE = 7k = 7 \cdot 2 = 14 ) м.

Ответ: длина хорды DE равна 14 метров.

1. Углы ( \angle ABC ) и ( \angle ADC ) вписаны в одну окружность.

• Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны. Если углы ( \angle ABC ) и ( \angle ADC ) опираются на разные дуги, их градусные меры связаны с центральными углами, соответствующими этим дугам.

а) Точки ( B ) и ( D ) лежат в одной полуплоскости относительно прямой ( AC ).

Когда точки ( B ) и ( D ) находятся в одной полуплоскости относительно хорды ( AC ), углы ( \angle ABC ) и ( \angle ADC ) опираются на одну и ту же дугу окружности.

• Угол ( \angle ADC ) равен ( 110^\circ ), и он опирается на дугу ( AB ). Тогда угол ( \angle ABC ), который также опирается на дугу ( AB ), будет равен половине градусной меры соответствующего центрального угла, то есть: [ \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \angle ADC = \frac{1}{2} \cdot 110^\circ = 55^\circ. ]

Ответ: ( \angle ABC = 55^\circ ).

б) Точки ( B ) и ( D ) лежат в разных полуплоскостях относительно прямой ( AC ).

Когда точки ( B ) и ( D ) находятся в разных полуплоскостях относительно хорды ( AC ), углы ( \angle ABC ) и ( \angle ADC ) опираются на разные дуги окружности. В таком случае, сумма этих углов равна ( 180^\circ ), так как их дуги дополняют друг друга до всей окружности.

• Угол ( \angle ADC = 110^\circ ). Тогда угол ( \angle ABC ) будет равен: [ \angle ABC = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ. ]

Ответ: ( \angle ABC = 70^\circ ).

2. Хорды ( DE ) и ( MN ) пересекаются в точке ( X ). Найти длину хорды ( DE ), если:

• ( XM = 2 \, \text{м}, \, XN = 24 \, \text{м} ),
• ( DX : MN = 3 : 4 ).

Решение:

Используем теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд: [ DX \cdot XE = XM \cdot XN. ]

Обозначим длину ( DX = 3k ), тогда по условию ( MN = 4k ).

1. Сначала найдём ( XN ) как сумму отрезков ( XM ) и ( MN ). По условию: [ XN = XM + MN = 2 + 24 = 26 \, \text{м}. ]

2. Подставляем в теорему: [ DX \cdot XE = XM \cdot XN. ] Подставляем известные значения: [ 3k \cdot XE = 2 \cdot 26. ] Решаем: [ 3k \cdot XE = 52. ] [ XE = \frac{52}{3k}. ]

3. Найдём длину хорды ( DE ), которая равна сумме ( DX + XE ): [ DE = DX + XE = 3k + \frac{52}{3k}. ]

4. Чтобы упростить выражение, найдём ( k ) из соотношения ( DX : MN = 3 : 4 ). Подставляем ( MN = 4k ), ( DX = 3k ).

   Условие даёт: [ MN = 4 \cdot 3 = 3X !

1. Углы ABC и ADC вписаны в одну окружность

Условие:

Даны углы ABC и ADC, вписанные в одну окружность. Известно, что угол ADC равен 110 градусов. Необходимо найти градусную меру угла ABC в двух случаях: а) когда точки B и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой AC; б) когда точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC.

Решение:

a) Когда точки B и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой AC:

Вписанные углы, основанные на одной и той же дуге, равны. Угол ABC и угол ADC опираются на одну и ту же дугу AC. Таким образом, угол ABC будет равен углу ADC:

[ \angle ABC = \angle ADC = 110^\circ ]

b) Когда точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC:

В этом случае угол ABC будет равен внешнему углу, который образуется при продолжении стороны AC. В этом случае:

[ \angle ABC = 180^\circ - \angle ADC ]

Подставим значение угла ADC:

[ \angle ABC = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ ]

Таким образом, для двух случаев мы имеем:

• а) угол ABC = 110°
• б) угол ABC = 70°

2. Хорды DE и MN пересекаются в точке X

Условие:

Даны хорды DE и MN, которые пересекаются в точке X. Известно, что (XM = 2) м, (XN = 24) м, а также отношение отрезков (DX:MN = 3:4).

Решение:

Для решения этой задачи используем свойство пересекающихся хорд. Оно гласит, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:

[ DX \cdot XE = MX \cdot XN ]

Обозначим (DX = 3k) и (XE = 4k), где (k) — некоторый множитель. Таким образом, длина хорды DE составит:

[ DE = DX + XE = 3k + 4k = 7k ]

Теперь подставим известные значения:

[ XM = 2, \quad XN = 24 ]

Теперь можем найти:

[ MX \cdot XN = 2 \cdot 24 = 48 ]

Теперь подставим это в уравнение:

[ DX \cdot XE = 3k \cdot 4k = 12k^2 ]

Установив равенство:

[ 12k^2 = 48 ]

Решим это уравнение:

[ k^2 = \frac{48}{12} = 4 \quad \Rightarrow \quad k = 2 ]

Теперь можем найти длину хорды DE:

[ DE = 7k = 7 \cdot 2 = 14 \text{ м} ]

Таким образом, длина хорды DE равна 14 метров.