1.Внутри квадрата ABCD выбрана точка N так,что треугольник BNC равносторонний.Найдите угол NAD. 2.В...

1. Угол NAD равен 15 градусов.
2. Периметр параллелограмма равен 24 см.
3. Площадь трапеции равна 12 кв. см.

1. Для нахождения угла NAD воспользуемся тем, что треугольник BNC равносторонний, а значит угол NBC равен 60 градусов. Так как угол NAB также равен 60 градусов (так как треугольник BNA равнобедренный), то угол NAD равен 120 градусов.

2. Пусть периметр параллелограмма равен P, тогда BF + FC + CD + DE + EA = P. Учитывая, что BF = 2 см, EC = 3 см, CD = BC (так как ABCD - параллелограмм), а также то, что FC = EC - EA = 3 - 3 = 0 см (так как AE = EC), получаем P = 2 + 0 + BC + DE + 3 = BC + DE + 5.

3. Площадь трапеции можно найти по формуле S = (сумма оснований) (высота) / 2. В данном случае сумма оснований равна AB + CD = 5 + 1 = 6 см, а высота CK равна 1 см. Таким образом, S = 6 1 / 2 = 3 квадратных сантиметра.

1. Угол NAD в квадрате ABCD с равносторонним треугольником BNC

Рассмотрим квадрат ABCD, где точка N расположена внутри квадрата так, что треугольник BNC является равносторонним. Для решения задачи используем свойства углов в равносторонних треугольниках и квадратах.

Пусть сторона квадрата равна a. В равностороннем треугольнике BNC все углы равны 60°. Поскольку угол BNC равен 60°, угол BNA (внешний угол при вершине N в треугольнике BNC) равен (180° - 60° = 120°). Так как угол BAD в квадрате равен 90°, угол NAD является разностью углов BNA и BAD:

[ \angle NAD = \angle BNA - \angle BAD = 120° - 90° = 30° ]

Таким образом, угол NAD равен 30°.

1. Периметр параллелограмма ABCD

Даны:

• Параллелограмм ABCD
• Биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке F и продолжение стороны CD за точку C - в точке E.
• (BF = 2 \text{ см})
• (EC = 3 \text{ см})

Пусть AB = a и AD = b. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому AB = CD = a и AD = BC = b.

Поскольку F - точка пересечения биссектрисы угла A с BC, по свойству биссектрисы отношение сторон равно отношению отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону:

[ \frac{AF}{FB} = \frac{AD}{DC} = \frac{b}{a} ]

Из условия (BF = 2 \text{ см}), поэтому (AF = b - 2).

Теперь рассмотрим точку E, которая является продолжением стороны CD за точку C. По свойству параллелограмма, если биссектриса угла пересекает продолжение противоположной стороны, то:

[ \frac{AE}{EC} = \frac{AB}{AD} = \frac{a}{b} ]

Из условия (EC = 3 \text{ см}), поэтому (AE = 3 \cdot \frac{a}{b}).

Поскольку AE = 3 см (из условия), и (EK = 6 \text{ см}), (KD = 1 \text{ см}), это дополнительная информация не требуется для определения периметра параллелограмма. Для периметра параллелограмма нам нужны только длины сторон a и b:

[ P = 2(a + b) ]

Из пропорций найдем (a) и (b):

[ \frac{b}{a} = \frac{3}{2} ]

Пусть (b = 3k) и (a = 2k). Тогда (BF = 2 \text{ см}) и (EC = 3 \text{ см}). Подставляя (b) и (a):

[ b = 3k, \quad a = 2k ]

Проверяем: (AF = b - 2 = 3k - 2, \quad \frac{AF}{BF} = \frac{3k - 2}{2} = \frac{AD}{DC} = \frac{3k}{2k} = \frac{3}{2}).

Из данных периметр:

[ P = 2(a + b) = 2(2k + 3k) = 10k ]

Реальных значений см нет, так как (k) неизвестно, но это не мешает периметру быть выраженным как (10k).

1. Площадь трапеции ABCD

Даны:

• Трапеция ABCD, где AD - большее основание, CK - высота, AB = 5 см.
• AE = 3 см, EK = 6 см, KD = 1 см, BE = 4 см.

Используем координаты для удобства. Пусть вершина A находится в начале координат (0, 0), B (5, 0), D (x, y), C (x, 0). По условию:

• (E (3, 6))
• (K (0, 0))
• (D (0, 1))

Так (AB = 5), (CK = 6), (KD = 1), (AD = 3+1=4). Высота трапеции:

[ h = EK = 6 \text{ см} ]

Площадь трапеции:

[ S = \frac{1}{2} \times (AB + AD) \times h = \frac{1}{2} \times (5 + 4) \times 6 = \frac{1}{2} \times 9 \times 6 = 27 \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь трапеции ABCD равна 27 см².