2.Четырехугольник ABCD – квадрат, точка О – его центр, прямая ОМ перпендикулярна к плоскости квадрата....

а) Поскольку точка О является центром квадрата ABCD, то все стороны квадрата равны между собой. Таким образом, МА = МВ = МС = МD. б) Так как ОМ - высота треугольника ОАМ, то МА = √$О{М}^2+А{О}^2$ = √$1^2+2^2$ = √5 см.

а) Докажем, что MA = MB = MC = MD.

Точка O является центром квадрата ABCD, что означает, что она равноудалена от всех вершин квадрата $тоестьOA=OB=OC=OD$. Поскольку прямая OM перпендикулярна плоскости квадрата, она также перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку O, включая линии OA, OB, OC и OD.

Рассмотрим треугольники OMA, OMB, OMC и OMD. Все они прямоугольные с общим катетом OM и равными катетами OA, OB, OC, OD соответственно. По теореме Пифагора, гипотенузы этих треугольников также равны, так как катеты равны. Следовательно, MA = MB = MC = MD.

б) Найдем MA, если AB = 4 см, OM = 1 см.

Так как ABCD – квадрат, то его диагональ AC можно найти по теореме Пифагора: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\text{ см.}$

Точка O, центр квадрата, делит диагональ пополам, следовательно, OA = OC = OB = OD = $\frac{1}{2}\times 4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник OMA. Известно, что OM = 1 см, и мы нашли OA = 2\sqrt{2} см. Используя теорему Пифагора, получим: $M{A}^2=O{M}^2+O{A}^2=1^2+(2\sqrt{2}{)}^2=1+8=9.$ $MA=\sqrt{9}=3\text{ см.}$

Таким образом, расстояние от точки M до любой вершины квадрата $MA,MB,MC,MD$ составляет 3 см.

а) Поскольку точка О - центр квадрата ABCD, то ОА = ОВ = OC = OD, так как все эти отрезки радиусы окружности, описанной вокруг квадрата. Также все эти отрезки равны между собой, так как квадрат имеет все стороны равными. Таким образом, получаем, что ОА = ОВ = OC = OD.

б) Рассмотрим прямоугольный треугольник OAM. По теореме Пифагора: OA^2 = OM^2 + AM^2 AM = √$O{A}^2-O{M}^2$ = √$4^2-1^2$ = √15 см

Итак, МА = √15 см.