2.Четырехугольник ABCD – квадрат, точка О – его центр, прямая ОМ перпендикулярна к плоскости квадрата....

а) Поскольку точка О является центром квадрата ABCD, то все стороны квадрата равны между собой. Таким образом, МА = МВ = МС = МD. б) Так как ОМ - высота треугольника ОАМ, то МА = √(ОМ^2 + АО^2) = √(1^2 + 2^2) = √5 см.

а) Докажем, что MA = MB = MC = MD.

Точка O является центром квадрата ABCD, что означает, что она равноудалена от всех вершин квадрата (то есть OA = OB = OC = OD). Поскольку прямая OM перпендикулярна плоскости квадрата, она также перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку O, включая линии OA, OB, OC и OD.

Рассмотрим треугольники OMA, OMB, OMC и OMD. Все они прямоугольные с общим катетом OM и равными катетами OA, OB, OC, OD соответственно. По теореме Пифагора, гипотенузы этих треугольников также равны, так как катеты равны. Следовательно, MA = MB = MC = MD.

б) Найдем MA, если AB = 4 см, OM = 1 см.

Так как ABCD – квадрат, то его диагональ AC можно найти по теореме Пифагора: [ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ см.} ]

Точка O, центр квадрата, делит диагональ пополам, следовательно, OA = OC = OB = OD = (\frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}) см.

Теперь рассмотрим треугольник OMA. Известно, что OM = 1 см, и мы нашли OA = 2\sqrt{2} см. Используя теорему Пифагора, получим: [ MA^2 = OM^2 + OA^2 = 1^2 + (2\sqrt{2})^2 = 1 + 8 = 9. ] [ MA = \sqrt{9} = 3 \text{ см.} ]

Таким образом, расстояние от точки M до любой вершины квадрата (MA, MB, MC, MD) составляет 3 см.

а) Поскольку точка О - центр квадрата ABCD, то ОА = ОВ = OC = OD, так как все эти отрезки радиусы окружности, описанной вокруг квадрата. Также все эти отрезки равны между собой, так как квадрат имеет все стороны равными. Таким образом, получаем, что ОА = ОВ = OC = OD.

б) Рассмотрим прямоугольный треугольник OAM. По теореме Пифагора: OA^2 = OM^2 + AM^2 AM = √(OA^2 - OM^2) = √(4^2 - 1^2) = √15 см

Итак, МА = √15 см.