6.Точка М делит сторону ВС треугольника АВС в отношении ВМ:МС =2 : 5. Известно, что АВ = а, АС = Ь ....

Для начала найдем координаты точки М. Пусть точка В имеет координаты (x1, y1), точка С - (x2, y2), тогда координаты точки М можно найти по формуле: x = (2x2 + 5x1) / 7 y = (2y2 + 5y1) / 7

Теперь найдем координаты вектора АМ: x = (x - x1) y = (y - y1)

Таким образом, вектор АМ имеет координаты ((2x2 + 5x1) / 7 - x1, (2y2 + 5y1) / 7 - y1).

Вектор АМ = (2a/7, 5b/7)

Для решения задачи найдем координаты точки M, которая делит сторону BC треугольника ABC в заданном отношении, а затем выразим вектор AM через векторы AB и AC.

Точка M делит сторону BC в отношении ( BM:MC = 2:5 ). Это означает, что M делит BC в отношении (\frac{2}{2+5} = \frac{2}{7}) от B и (\frac{5}{7}) от C.

Пусть (\mathbf{A}), (\mathbf{B}), и (\mathbf{C}) - это векторы, соответствующие вершинам A, B, и C соответственно.

1. Координаты точки M: Векторное уравнение точки M, делящей отрезок BC в отношении (2:5), можно записать так: [ \mathbf{M} = \frac{5\mathbf{B} + 2\mathbf{C}}{7} ]

2. Вектор AM: Теперь нам нужно найти вектор (\mathbf{AM}), который выражается как разность векторов (\mathbf{M}) и (\mathbf{A}): [ \mathbf{AM} = \mathbf{M} - \mathbf{A} ]

   Подставим координаты точки M: [ \mathbf{AM} = \left( \frac{5\mathbf{B} + 2\mathbf{C}}{7} \right) - \mathbf{A} ]

   Приведём всё к общему знаменателю: [ \mathbf{AM} = \frac{5\mathbf{B} + 2\mathbf{C} - 7\mathbf{A}}{7} ]

3. Векторы AB и AC: Зная, что (\mathbf{AB} = \mathbf{B} - \mathbf{A}) и (\mathbf{AC} = \mathbf{C} - \mathbf{A}), выразим (\mathbf{AM}) через (\mathbf{AB}) и (\mathbf{AC}): [ \mathbf{AM} = \frac{5(\mathbf{B} - \mathbf{A}) + 2(\mathbf{C} - \mathbf{A})}{7} ]

   Раскроем скобки: [ \mathbf{AM} = \frac{5\mathbf{B} - 5\mathbf{A} + 2\mathbf{C} - 2\mathbf{A}}{7} = \frac{5\mathbf{B} + 2\mathbf{C} - 7\mathbf{A}}{7} ]

   Заменим (\mathbf{B} - \mathbf{A}) на (\mathbf{AB}) и (\mathbf{C} - \mathbf{A}) на (\mathbf{AC}): [ \mathbf{AM} = \frac{5\mathbf{AB} + 2\mathbf{AC}}{7} ]

Таким образом, вектор (\mathbf{AM}) можно записать в следующем виде: [ \mathbf{AM} = \frac{5\mathbf{AB} + 2\mathbf{AC}}{7} ]

Этот результат показывает, что вектор (\mathbf{AM}) является линейной комбинацией векторов (\mathbf{AB}) и (\mathbf{AC}) с коэффициентами (\frac{5}{7}) и (\frac{2}{7}) соответственно.