A (-2;0), B(2;2), C(4;-2), D(0;-4) 1) Запишите уравнение прямой BD 2) Докажите, что ABCD - квадрат

Для решения задачи начнём с уравнения прямой BD и затем проверим, является ли фигура ABCD квадратом.

1) Уравнение прямой BD

Чтобы найти уравнение прямой BD, нужно определить её наклон и использовать точку на этой прямой.

Наклон прямой BD: Точки B(2; 2) и D(0; -4) дают нам возможность вычислить наклон (угловой коэффициент) прямой.

Формула для нахождения углового коэффициента ( k ): [ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} ] где ( (x_1, y_1) = (2, 2) ) и ( (x_2, y_2) = (0, -4) ).

Подставляем значения: [ k = \frac{-4 - 2}{0 - 2} = \frac{-6}{-2} = 3 ]

Теперь мы знаем, что угловой коэффициент ( k = 3 ).

Уравнение прямой в точке B: Используем уравнение прямой в виде ( y - y_1 = k(x - x_1) ): [ y - 2 = 3(x - 2) ] Раскроем скобки: [ y - 2 = 3x - 6 ] [ y = 3x - 4 ]

Таким образом, уравнение прямой BD: [ y = 3x - 4 ]

2) Докажем, что ABCD - квадрат

Чтобы доказать, что ABCD является квадратом, нам нужно проверить следующие условия:

1. Все стороны равны.
2. Углы между сторонами прямые (90 градусов).

Длина сторон:

• AB: [ AB = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(2 + 2)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ]

• BC: [ BC = \sqrt{(4 - 2)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{(2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ]

• CD: [ CD = \sqrt{(0 - 4)^2 + (-4 - (-2))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ]

• AD: [ AD = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (-4 - 0)^2} = \sqrt{(2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ]

Все стороны равны: ( AB = BC = CD = AD = 2\sqrt{5} ).

Проверка углов: Для проверки прямых углов между сторонами можно использовать скалярное произведение векторов.

• Вектор AB: ( (2 - (-2), 2 - 0) = (4, 2) )
• Вектор BC: ( (4 - 2, -2 - 2) = (2, -4) ) Скалярное произведение ( AB \cdot BC ): [ (4, 2) \cdot (2, -4) = 4 \cdot 2 + 2 \cdot (-4) = 8 - 8 = 0 ] Угол между AB и BC равен 90 градусов.

Аналогично, можно проверить углы между другими сторонами:

• Угол между BC и CD
• Угол между CD и DA
• Угол между AD и AB

Так как все углы равны 90 градусов, и все стороны равны, то ABCD является квадратом.

Таким образом, ABCD - это квадрат.

Рассмотрим задачу, связанную с геометрией. Даны точки ( A(-2; 0) ), ( B(2; 2) ), ( C(4; -2) ), ( D(0; -4) ). Решим последовательно поставленные вопросы.

1. Запишем уравнение прямой ( BD ):

Прямая ( BD ) проходит через точки ( B(2; 2) ) и ( D(0; -4) ). Уравнение прямой на плоскости можно записать в общем виде:
[ y - y_1 = k(x - x_1), ] где ( k ) — угловой коэффициент, равный: [ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. ]

Подставляя координаты ( B(2; 2) ) (( x_1 = 2, y_1 = 2 )) и ( D(0; -4) ) (( x_2 = 0, y_2 = -4 )), находим: [ k = \frac{-4 - 2}{0 - 2} = \frac{-6}{-2} = 3. ]

Теперь подставим ( k = 3 ) и координаты точки ( B(2; 2) ) в уравнение: [ y - 2 = 3(x - 2). ]

Раскроем скобки: [ y - 2 = 3x - 6, ] [ y = 3x - 4. ]

Таким образом, уравнение прямой ( BD ) имеет вид: [ \boxed{y = 3x - 4.} ]

2. Докажем, что ( ABCD ) — квадрат:

Для доказательства того, что четырёхугольник ( ABCD ) является квадратом, нужно показать, что:

• Все стороны равны;
• Соседние стороны перпендикулярны.

Шаг 1: Найдём длины всех сторон ( AB, BC, CD, DA ):

Длина стороны между двумя точками ( (x_1, y_1) ) и ( (x_2, y_2) ) рассчитывается по формуле: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. ]

1) Длина ( AB ) между точками ( A(-2; 0) ) и ( B(2; 2) ): [ AB = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(2 + 2)^2 + 2^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}. ]

2) Длина ( BC ) между точками ( B(2; 2) ) и ( C(4; -2) ): [ BC = \sqrt{(4 - 2)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}. ]

3) Длина ( CD ) между точками ( C(4; -2) ) и ( D(0; -4) ): [ CD = \sqrt{(0 - 4)^2 + (-4 - (-2))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}. ]

4) Длина ( DA ) между точками ( D(0; -4) ) и ( A(-2; 0) ): [ DA = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (0 - (-4))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}. ]

Все стороны равны: [ AB = BC = CD = DA = 2\sqrt{5}. ]

Шаг 2: Проверим перпендикулярность соседних сторон:

Соседние стороны будут перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно ( -1 ). Найдём угловые коэффициенты.

1) Угловой коэффициент ( k{AB} ) для прямой ( AB ) (через ( A(-2; 0) ) и ( B(2; 2) )): [ k{AB} = \frac{2 - 0}{2 - (-2)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. ]

2) Угловой коэффициент ( k{BC} ) для прямой ( BC ) (через ( B(2; 2) ) и ( C(4; -2) )): [ k{BC} = \frac{-2 - 2}{4 - 2} = \frac{-4}{2} = -2. ]

Проверим ( k{AB} \cdot k{BC} ): [ k{AB} \cdot k{BC} = \frac{1}{2} \cdot (-2) = -1. ] Стороны ( AB ) и ( BC ) перпендикулярны.

3) Угловой коэффициент ( k{CD} ) для прямой ( CD ) (через ( C(4; -2) ) и ( D(0; -4) )): [ k{CD} = \frac{-4 - (-2)}{0 - 4} = \frac{-4 + 2}{-4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}. ]

4) Угловой коэффициент ( k{DA} ) для прямой ( DA ) (через ( D(0; -4) ) и ( A(-2; 0) )): [ k{DA} = \frac{0 - (-4)}{-2 - 0} = \frac{4}{-2} = -2. ]

Проверим ( k{CD} \cdot k{DA} ): [ k{CD} \cdot k{DA} = \frac{1}{2} \cdot (-2) = -1. ] Стороны ( CD ) и ( DA ) перпендикулярны.

Вывод:

• Все стороны равны: ( AB = BC = CD = DA = 2\sqrt{5} );
• Соседние стороны перпендикулярны.

Следовательно, ( ABCD ) — квадрат.

Ответ:

1) Уравнение прямой ( BD ): ( \boxed{y = 3x - 4}. )
2) ( ABCD ) является квадратом, так как все стороны равны, и соседние стороны перпендикулярны.