А) даны параллелограммы АВСD и СDMN с общей стороной стороной СD . Точки В и N лежат по разные стороны...

Давайте разберем задачу по порядку.

Дано:

1. Параллелограммы (ABCD) и (CDMN) имеют общую сторону (CD).
2. Точки (B) и (N) лежат по разные стороны от прямой (CD).
3. Угол (\angle BCD = 38^\circ).
4. Угол (\angle ABN = 82^\circ).
5. Угол (\angle DCN = 52^\circ).
6. Длина (NM = 9 \, \text{см}).
7. Периметр (ABCD = 28 \, \text{см}).

Требуется:

1. Доказать, что (ABNM) является параллелограммом.
2. Найти углы и периметр (ABNM).
3. Выполнить построение.

Решение:

1. Доказательство, что (ABNM) является параллелограммом.

Шаг 1: Углы параллелограммов (ABCD) и (CDMN).

• В параллелограмме (ABCD), противоположные стороны параллельны, а сумма смежных углов равна (180^\circ). Угол (\angle BCD = 38^\circ), значит: [ \angle DAB = 38^\circ. ] Также, противоположные углы равны, то есть: [ \angle ABC = \angle CDA = 142^\circ. ]

• Аналогично, в параллелограмме (CDMN), угол (\angle DCN = 52^\circ), поэтому: [ \angle CNM = 52^\circ. ] А противоположные углы равны: [ \angle CDN = \angle NMC = 128^\circ. ]

Шаг 2: Рассмотрим четырехугольник (ABNM).

Теперь проверим, является ли (ABNM) параллелограммом. Для этого нужно доказать, что противоположные стороны равны и параллельны.

1. В параллелограмме (ABCD), стороны (AB) и (CD) равны, а также (AD) и (BC) равны.
2. В параллелограмме (CDMN), стороны (CD) и (NM) равны, а также (CN) и (DM) равны.

Поскольку (AB) и (CD) равны, а (CD) и (NM) равны, то: [ AB = NM. ]

Аналогично, так как (AD = BC) (в (ABCD)) и (BC = CN) (в (CDMN)), то: [ AD = CN. ]

Следовательно, (AB = NM) и (AD = CN), а также (AB \parallel NM) и (AD \parallel CN) (по свойствам параллелограммов). Таким образом, (ABNM) является параллелограммом.

2. Найдем углы параллелограмма (ABNM).

1. Угол (\angle ABN) дан по условию: (82^\circ).

2. В четырехугольнике (ABNM), противоположные углы равны, а сумма всех углов равна (360^\circ). Обозначим углы (ABNM) как (\angle ABN = \angle NMA) и (\angle BAN = \angle MNM).

   Так как (\angle ABN = 82^\circ), то: [ \angle NMA = 82^\circ. ]

   Остальные два угла: [ \angle BAN = \angle MNM = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ. ]

Итак, углы параллелограмма (ABNM) равны: [ \angle ABN = \angle NMA = 82^\circ, \quad \angle BAN = \angle MNM = 98^\circ. ]

3. Найдем периметр параллелограмма (ABNM).

Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме двух смежных сторон: [ P = 2 \cdot (AB + AD). ]

По условию, периметр (ABCD = 28 \, \text{см}), а все стороны (ABCD) равны попарно. Значит, длины сторон (ABCD) таковы: [ AB = CD = \frac{28}{4} = 7 \, \text{см}, \quad AD = BC = 7 \, \text{см}. ]

В параллелограмме (ABNM), стороны (AB) и (NM) равны, а также (AD) и (CN) равны. По условию, (NM = 9 \, \text{см}), поэтому: [ P = 2 \cdot (AB + NM) = 2 \cdot (7 + 9) = 32 \, \text{см}. ]

Итог:

1. (ABNM) — параллелограмм.
2. Углы параллелограмма (ABNM): (82^\circ, 98^\circ, 82^\circ, 98^\circ).
3. Периметр параллелограмма (ABNM = 32 \, \text{см}).

Построение:

1. Постройте отрезок (CD).
2. Постройте параллелограмм (ABCD), используя данные углы ((\angle BCD = 38^\circ), (\angle ABC = 142^\circ)).
3. Постройте параллелограмм (CDMN), используя данные углы ((\angle DCN = 52^\circ), (\angle CDN = 128^\circ)).
4. Соедините точки (A, B, N, M) для построения параллелограмма (ABNM).

Чтобы доказать, что четырехугольник ABNM является параллелограммом, мы можем воспользоваться свойствами углов и сторонами данных параллелограммов ABCD и CDMN.

Шаг 1: Определение углов в параллелограммах

Из условия задачи мы знаем, что:

• Угол BCD = 38°
• Угол DCN = 52°
• Угол ABN = 82°

Параллелограммы имеют следующие свойства:

1. Противоположные углы равны.
2. Сумма углов на одной стороне равна 180°.

Шаг 2: Вычисление угла DAB

Поскольку ABCD — параллелограмм, угол DAB равен углу BCD:

• Угол DAB = угол BCD = 38°.

Шаг 3: Вычисление угла AMB

Теперь рассмотрим угол AMB. Так как CDMN также параллелограмм, угол DCM равен углу CNM:

• Угол DCM = угол DCN = 52°.

Теперь можем найти угол ABM, используя сумму углов в треугольнике ABN:

• Угол ABM = 180° - угол ABN - угол ADB = 180° - 82° - 38° = 60°.

Шаг 4: Углы в четырехугольнике ABNM

Теперь, зная угол DAB, мы можем найти остальные углы в четырехугольнике ABNM:

• Угол ANM = угол ABM = 60° (поскольку ABNM — параллелограмм, углы напротив равны).
• Угол AMN = угол DCM = 52°.
• Угол BAN = угол BCD = 38°.

Шаг 5: Проверка свойств ABNM

Поскольку углы ABM и ANM равны, а углы DAB и AMN также равны, то четырехугольник ABNM является параллелограммом, так как у него пара противоположных углов равны.

Шаг 6: Периметр ABNM

Сначала найдем длины сторон AB и AN. Из условия задачи периметр AВСD равен 28 см. Стороны параллелограмма равны, поэтому:

• (AB + BC + CD + DA = 28).

Поскольку CD = MN (в параллелограмме стороны равны), то нам нужно найти длину стороны AB:

• Стороны AB и CD равны, следовательно, если обозначить длину AB как x, мы имеем:
• (2x + 9 = 28),
• (2x = 28 - 9 = 19),
• (x = 9.5).

Теперь периметр ABNM:

• Периметр ABNM = AB + AN + MN + AB = 2(AB) + MN = 2(9.5) + 9 = 19 + 9 = 28 см.

Заключение

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник ABNM является параллелограммом, так как у него равны два противоположных угла. Углы ABNM равны: угол DAB = 38°, угол AMN = 52°, угол ABM = 60°, угол ANM = 60°. Периметр ABNM равен 28 см.

Построение

Для построения:

1. Начертите параллелограмм ABCD с заданными углами и длиной стороны.
2. С помощью угломера начертите угол DAB = 38° и угол DCN = 52°.
3. Найдите точку N так, чтобы MN = 9 см.
4. Соедините точки A, B, N, M, чтобы получить параллелограмм ABNM.

Таким образом, задача решена.