ABCD - квадрат, BE перпендикулярно (ABC), угол EAB равен 45 градусам Sabcd = 4. Найдите S/\aec

Для нахождения S/\aec нужно найти площадь треугольника AEC. Так как угол EAB равен 45 градусам, то угол EAC также равен 45 градусам. Таким образом, треугольник AEC является равнобедренным.

Площадь треугольника AEC можно найти, используя формулу S = 0.5 a b * sin(C), где a и b - стороны треугольника, C - угол между ними. В данном случае стороны треугольника AEC равны 4 (так как AB = BC = CD = AD = 4) и угол между ними равен 45 градусам.

S = 0.5 4 4 sin(45) = 0.5 16 sqrt(2) 0.7071 ≈ 5.6569

Таким образом, S/\aec ≈ 5.6569.

Для начала найдем длину стороны квадрата ABCD. Так как угол EAB равен 45 градусам, то треугольник EAB является прямоугольным и равнобедренным, поэтому угол AEB равен 90 градусам. Также из условия BE перпендикулярно (ABC) следует, что угол ABE равен 90 градусам. Следовательно, треугольник ABE - равнобедренный прямоугольный треугольник, и сторона AB равна 4.

Теперь найдем площадь квадрата ABCD. Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны, то есть SABCD = AB^2 = 4^2 = 16.

Теперь найдем площадь треугольника AEC. Треугольник AEC является прямоугольным, так как AE перпендикулярно EC. Также угол EAB равен 45 градусам, поэтому угол CAE также равен 45 градусам. Таким образом, у треугольника AEC два угла по 45 градусов, что означает, что он равнобедренный. Так как AE = AB = 4, то и AC = 4.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле S = 0.5 a b, где a и b - катеты треугольника. Поэтому S = 0.5 4 4 = 8.

Итак, SABCD = 16, SАЕС = 8. Теперь найдем отношение этих площадей: SABCD / SАЕС = 16 / 8 = 2.

Ответ: SABCD / SАЕС = 2.

В данном вопросе рассмотрим квадрат (ABCD) с известной площадью (S_{ABCD} = 4). Нам также даны условия, что (BE) перпендикулярно плоскости (ABC) и угол (EAB) равен 45 градусам. Нужно найти площадь треугольника (\triangle AEC).

Шаг 1: Найдем сторону квадрата (ABCD)

Площадь квадрата (ABCD) равна 4. Площадь квадрата вычисляется по формуле: [ S = a^2 ] где (a) — длина стороны квадрата.

Отсюда: [ a^2 = 4 ] [ a = \sqrt{4} ] [ a = 2 ]

Шаг 2: Определение координат точек

Будем считать, что квадрат (ABCD) расположен в плоскости (xOy) так, что:

• Точка (A) находится в начале координат ((0, 0)).
• Точка (B) имеет координаты ((2, 0)).
• Точка (C) имеет координаты ((2, 2)).
• Точка (D) имеет координаты ((0, 2)).

Шаг 3: Определим координаты точки (E)

Поскольку (BE) перпендикулярно плоскости (ABC), точка (E) лежит на оси (z). Также угол (EAB) равен 45 градусам.

Рассмотрим треугольник ( \triangle ABE ):

• (AB = 2) (сторона квадрата).
• Угол (EAB = 45^\circ).

Из треугольника ( \triangle ABE ) видно, что: [ \tan(45^\circ) = \frac{BE}{AB} ] [ 1 = \frac{BE}{2} ] [ BE = 2 ]

Таким образом, координаты точки (E) будут ( (2, 0, 2) ).

Шаг 4: Найдем площадь треугольника (\triangle AEC)

Точки (A), (E) и (C) имеют координаты:

• (A = (0, 0, 0))
• (E = (2, 0, 2))
• (C = (2, 2, 0))

Используем формулу для площади треугольника с известными координатами вершин: [ S = \frac{1}{2} \left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right| ] где: [ \vec{AB} = (2, 0, 2) - (0, 0, 0) = (2, 0, 2) ] [ \vec{AC} = (2, 2, 0) - (0, 0, 0) = (2, 2, 0) ]

Найдем векторное произведение: [ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 2 & 0 & 2 \ 2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - 2 \cdot 2) - \mathbf{j}(2 \cdot 0 - 2 \cdot 2) + \mathbf{k}(2 \cdot 2 - 2 \cdot 0) ] [ = \mathbf{i}(0 - 4) - \mathbf{j}(0 - 4) + \mathbf{k}(4 - 0) ] [ = -4\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 4\mathbf{k} ]

Теперь найдем модуль этого вектора: [ \left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} ]

Площадь треугольника: [ S_{\triangle AEC} = \frac{1}{2} \left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right| = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3} ]

Таким образом, площадь треугольника (\triangle AEC) равна (2\sqrt{3}).