ABCD- трапеция Дано: AO=OD Доказать: AB=CD

Для доказательства равенства сторон AB и CD в трапеции ABCD с условием, что AO=OD, рассмотрим два треугольника AOB и DOC.

По условию AO=OD, а также углы AOB и DOC являются соответственными вертикальными углами и, следовательно, равны. Также углы ABD и CDA являются вертикальными углами и равны.

Теперь рассмотрим треугольники AOB и DOC. У них есть общая сторона OD (она равна AO). Углы AOB и DOC равны по условию, а углы OAB и ODC равны, так как являются вертикальными. Таким образом, по стороне-углу-стороне треугольники AOB и DOC равны.

Из равенства треугольников следует, что AB = CD, так как соответствующие стороны равны в равных треугольниках.

Таким образом, доказано, что в трапеции ABCD с условием, что AO=OD, стороны AB и CD равны.

Для доказательства того, что в трапеции ABCD при условии AO=OD стороны AB и CD равны, рассмотрим следующие шаги и используем свойства трапеции и геометрические теоремы.

1. Определения и начальные условия:

   • Трапеция ABCD – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (пусть это будут основания AD и BC), а две другие – не параллельны (пусть это будут боковые стороны AB и CD).
   • AO = OD – данное условие означает, что точка O лежит на отрезке AD и делит его пополам.

2. Свойства трапеции:

   • В трапеции боковые стороны могут быть равны, если трапеция является равнобокой (т.е. боковые стороны равны).

3. Рассмотрим треугольники:

   • Треугольники AOB и COD. Эти треугольники образуются путем соединения вершин трапеции с точкой O, которая делит отрезок AD пополам.

4. Докажем равенство треугольников AOB и COD:

   • AO = OD (по условию)
   • Углы ∠AOB и ∠COD равны, поскольку они вертикальные углы (при пересечении двух прямых образуются равные вертикальные углы).
   • Остается доказать, что третьи стороны треугольников AB и CD равны, чтобы доказать, что треугольники равны по признаку равенства двух сторон и угла между ними (SAS).

5. Дополнительные шаги для доказательства:

   • Рассмотрим высоты, опущенные из вершин B и C на основание AD. Обозначим точки пересечения высот с AD как H и K соответственно.
   • Поскольку трапеция равнобокая, высоты BH и CK будут равны, потому что боковые стороны AB и CD равны по свойству равнобокой трапеции.
   • Треугольники ABH и CDK будут равны по двум сторонам и углу между ними (катеты равны, и углы при основании AD равны).

6. Заключение:

   • Из равенства треугольников AOB и COD следует, что AB = CD.

Таким образом, мы доказали, что в трапеции ABCD при условии AO = OD боковые стороны AB и CD равны.