ABCDA1B1C1D1-куб, длина ребра которого 4 см. Чему равно расстояние от точки A1 до плоскости BB1D?

Расстояние от точки A1 до плоскости BB1D равно 2 см.

Для нахождения расстояния от точки A1 до плоскости BB1D воспользуемся формулой для расстояния от точки до плоскости, которая выглядит следующим образом:

d = |ax1 + by1 + cz1 + d| / √(a^2 + b^2 + c^2),

где (a, b, c) - коэффициенты уравнения плоскости, а (x1, y1, z1) - координаты точки.

Сначала найдем уравнение плоскости BB1D. Поскольку точки B, B1 и D лежат на одной прямой, то векторы BB1 и BD будут коллинеарны. Найдем координаты вектора BB1:

BB1 = B1 - B = (4, 0, 0) - (0, 0, 0) = (4, 0, 0).

Теперь найдем координаты вектора BD:

BD = D - B = (4, 4, 0) - (0, 0, 0) = (4, 4, 0).

Теперь найдем векторное произведение векторов BB1 и BD, чтобы найти нормаль к плоскости BB1D:

n = BB1 x BD = (0, 0, 4) x (4, 4, 0) = (0, -16, 0).

Таким образом, уравнение плоскости BB1D имеет вид -16y = 0, то есть y = 0.

Теперь подставим координаты точки A1 (4, 0, 0) и коэффициенты уравнения плоскости в формулу для расстояния от точки до плоскости:

d = |04 + (-16)0 + 0*0 + 0| / √(0^2 + (-16)^2 + 0^2) = 0 / 16 = 0.

Таким образом, расстояние от точки A1 до плоскости BB1D равно 0.

Чтобы найти расстояние от точки ( A_1 ) до плоскости ( BB_1D ) в кубе ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ) с длиной ребра 4 см, будем следовать следующим шагам:

1. Определим координаты точек:

   • Куб расположен так, что его вершины имеют следующие координаты:
     • ( A(0, 0, 0) )
     • ( B(4, 0, 0) )
     • ( C(4, 4, 0) )
     • ( D(0, 4, 0) )
     • ( A_1(0, 0, 4) )
     • ( B_1(4, 0, 4) )
     • ( C_1(4, 4, 4) )
     • ( D_1(0, 4, 4) )

2. Найдем уравнение плоскости ( BB_1D ):

   • Точки ( B(4, 0, 0) ), ( B_1(4, 0, 4) ), и ( D(0, 4, 0) ) лежат в одной плоскости.
   • Вектор ( \overrightarrow{BB_1} = (0, 0, 4) )
   • Вектор ( \overrightarrow{BD} = (-4, 4, 0) )
   • Векторное произведение этих векторов даст нормальный вектор плоскости: [ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{BB_1} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 0 & 0 & 4 \ -4 & 4 & 0 \end{vmatrix} = (0 \cdot 0 - 4 \cdot 4) \mathbf{i} - (0 \cdot 0 - 4 \cdot (-4)) \mathbf{j} + (0 \cdot 4 - 0 \cdot (-4)) \mathbf{k} = (-16, -16, 0) ]
   • Упростим нормальный вектор: ( (-16, -16, 0) ) до ( (1, 1, 0) ).

3. Уравнение плоскости:

   • Уравнение плоскости в общем виде: ( ax + by + cz = d ).
   • Подставим координаты точки ( B(4, 0, 0) ) в уравнение ( x + y = d ): [ 4 + 0 = d \Rightarrow d = 4 ]
   • Таким образом, уравнение плоскости: ( x + y = 4 ).

4. Расстояние от точки ( A_1(0, 0, 4) ) до плоскости ( x + y = 4 ):

   • Формула для расстояния от точки ( (x_0, y_0, z_0) ) до плоскости ( ax + by + cz = d ) есть: [ \text{Distance} = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} ]
   • Подставим значения: ( a = 1 ), ( b = 1 ), ( c = 0 ), ( d = 4 ), и ( (x_0, y_0, z_0) = (0, 0, 4) ): [ \text{Distance} = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 4 - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{|0 - 4|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} ]

Итак, расстояние от точки ( A_1 ) до плоскости ( BB_1D ) равно ( 2\sqrt{2} ) см.