ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, AB=AD=8 дм, AA1=2дм. Найдите площадь сечения BMKD, где...

Для решения задачи начнем с анализа геометрической конфигурации и определения координат ключевых точек параллелепипеда.

1. Определение координат точек:

   • ( A(0, 0, 0) )
   • ( B(8, 0, 0) )
   • ( D(0, 8, 0) )
   • ( C(8, 8, 0) )
   • ( A_1(0, 0, 2) )
   • ( B_1(8, 0, 2) )
   • ( D_1(0, 8, 2) )
   • ( C_1(8, 8, 2) )

2. Нахождение координат точек М и К:

   • ( M ) — середина ( B_1C_1 ): [ M \left( \frac{8 + 8}{2}, \frac{0 + 8}{2}, \frac{2 + 2}{2} \right) = (8, 4, 2) ]

   • ( K ) — середина ( C_1D_1 ): [ K \left( \frac{8 + 0}{2}, \frac{8 + 8}{2}, \frac{2 + 2}{2} \right) = (4, 8, 2) ]

3. Определение уравнений плоскости BMKD:

   Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через точки ( B(8, 0, 0) ), ( M(8, 4, 2) ), ( K(4, 8, 2) ), и ( D(0, 8, 0) ), используем метод определителя.

   Составим матрицу из координат векторов: [ \begin{vmatrix} x - 8 & y - 0 & z - 0 \ 8 - 8 & 4 - 0 & 2 - 0 \ 4 - 8 & 8 - 0 & 2 - 0 \ 0 - 8 & 8 - 0 & 0 - 0 \end{vmatrix} ]

   Упрощаем: [ \begin{vmatrix} x - 8 & y & z \ 0 & 4 & 2 \ -4 & 8 & 2 \ -8 & 8 & 0 \end{vmatrix} ]

   Найдем определитель методом разложения по первой строке: [ \begin{vmatrix} 0 & 4 & 2 \ -4 & 8 & 2 \ -8 & 8 & 0 \end{vmatrix} = 0 \cdot \begin{vmatrix} 8 & 2 \ 8 & 0 \end{vmatrix} - y \begin{vmatrix} -4 & 2 \ -8 & 0 \end{vmatrix} + z \begin{vmatrix} -4 & 4 \ -8 & 8 \end{vmatrix} ]

   Упростим: [ y \cdot ( -4 \cdot 0 - (-8) \cdot 2 ) + z \cdot ( -4 \cdot 8 - (-8) \cdot 4 ) = y \cdot 16 + z \cdot (-32 + 32) = 16y ]

   Таким образом, уравнение плоскости: [ 0 \cdot x + 16 \cdot y = 16x ]

   Перепишем: [ y = x ]

4. Площадь сечения:

   Площадь сечения ( BMKD ) представляет собой трапецию. Посчитаем длины её оснований и высоту.

   • ( BM ): [ BM = \sqrt{(8-8)^2 + (4-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{0^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ]

   • ( DK ): [ DK = \sqrt{(4-0)^2 + (8-8)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} ]

   Высота трапеции равна расстоянию между плоскостями ( z = 0 ) и ( z = 2 ), что составляет 2 дм.

   Площадь трапеции: [ S = \frac{1}{2}(BM + DK) \cdot h = \frac{1}{2}(2\sqrt{5} + 2\sqrt{5}) \cdot 2 = 4\sqrt{5} \text{ дм}^2 ]

Итак, площадь сечения BMKD равна ( 4\sqrt{5} \text{ дм}^2 ).

Для нахождения площади сечения BMKD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, необходимо найти длины отрезков BM и MK, а также угол между ними.

Поскольку М - середина В1С1, то BM = 1/2 B1C1 = 1/2 AB = 4 дм.

Аналогично, так как К - середина С1D1, то MK = 1/2 C1D1 = 1/2 AD = 4 дм.

Теперь найдем угол между отрезками BM и MK. Так как BM и MK - это диагонали прямоугольника, то они перпендикулярны друг другу.

Площадь сечения BMKD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна площади прямоугольника со сторонами BM и MK. Таким образом, S = BM MK = 4 дм 4 дм = 16 дм^2.

Итак, площадь сечения BMKD равна 16 квадратным дециметрам.