ABCDA1B1C1D1-прямоугольный параллелепипед. причем А В=а см, ВС=2а см, ВВ1=4а см. через точки А, В1 и...

Для решения задачи сначала нужно определить векторы, лежащие в плоскостях ( AB_1C ) и ( ABC ), и затем найти тангенс угла между этими плоскостями.

Шаг 1: Определение векторов

1. Векторы плоскости ( ABC ):

   Плоскость ( ABC ) образована векторами ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{AC} ).

   [ \overrightarrow{AB} = (a, 0, 0) ]

   [ \overrightarrow{AC} = (a, 2a, 0) ]

2. Векторы плоскости ( AB_1C ):

   Плоскость ( AB_1C ) образована векторами ( \overrightarrow{AB_1} ) и ( \overrightarrow{AC} ).

   [ \overrightarrow{AB_1} = (a, 0, 4a) ]

   [ \overrightarrow{AC} = (a, 2a, 0) ]

Шаг 2: Нахождение нормальных векторов к плоскостям

1. Нормальный вектор к плоскости ( ABC ) (перпендикулярен к обоим векторам (\overrightarrow{AB}) и (\overrightarrow{AC})):

   [ \overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ a & 0 & 0 \ a & 2a & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, 2a^2) ]

2. Нормальный вектор к плоскости ( AB_1C ) (перпендикулярен к обоим векторам (\overrightarrow{AB_1}) и (\overrightarrow{AC})):

   [ \overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{AB_1} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ a & 0 & 4a \ a & 2a & 0 \end{vmatrix} = (-8a^2, 4a^2, 2a^2) ]

Шаг 3: Нахождение тангенса угла между плоскостями

Тангенс угла (\theta) между плоскостями определяется через скалярное произведение нормальных векторов и их модули:

[ \tan \theta = \frac{|\overrightarrow{n_1} \times \overrightarrow{n_2}|}{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}} ]

1. Скалярное произведение (\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}):

   [ \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = (0, 0, 2a^2) \cdot (-8a^2, 4a^2, 2a^2) = 4a^4 ]

2. Модуль векторного произведения (|\overrightarrow{n_1} \times \overrightarrow{n_2}|):

   [ \overrightarrow{n_1} \times \overrightarrow{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 0 & 0 & 2a^2 \ -8a^2 & 4a^2 & 2a^2 \end{vmatrix} = (-8a^4, -16a^4, 0) ]

   [ |\overrightarrow{n_1} \times \overrightarrow{n_2}| = \sqrt{(-8a^4)^2 + (-16a^4)^2 + 0} = \sqrt{320a^8} = 8a^4\sqrt{5} ]

3. Тангенс угла (\theta):

   [ \tan \theta = \frac{8a^4\sqrt{5}}{4a^4} = 2\sqrt{5} ]

Таким образом, тангенс угла между плоскостями ( AB_1C ) и ( ABC ) равен ( 2\sqrt{5} ).

Для нахождения тангенса угла между плоскостями АВ1С и АВС необходимо определить угол между нормалями к этим плоскостям. Нормали к плоскостям можно найти как векторное произведение направляющих векторов плоскостей.

Сначала найдем направляющие векторы для плоскости АВ1С. Вектор АВ1 можно найти как разность координат точек A и B1, то есть AB1 = (4a-0)i + (0-0)j + (0-0)k = 4ai. Аналогично, вектор В1С можно найти как разность координат точек B1 и C, то есть B1C = (0-2a)i + (0-0)j + (0-0)k = -2ai. Теперь векторное произведение AB1 и B1C даст направляющий вектор нормали к плоскости АВ1С.

AB1 x B1C = (4ai) x (-2ai) = 8a^2(j+k)

Теперь найдем направляющие векторы для плоскости АВС. Вектор AB можно найти как разность координат точек A и B, то есть AB = (a-0)i + (0-0)j + (0-0)k = ai. Аналогично, вектор BC можно найти как разность координат точек B и C, то есть BC = (0-2a)i + (0-0)j + (0-0)k = -2ai. Теперь векторное произведение AB и BC даст направляющий вектор нормали к плоскости АВС.

AB x BC = (ai) x (-2ai) = 2a^2(j+k)

Теперь найдем угол между этими векторами, используя их скалярное произведение:

cos(θ) = (AB1 x B1C) • (AB x BC) / (|AB1 x B1C| |AB x BC|) cos(θ) = (8a^2(j+k) • 2a^2(j+k)) / (|8a^2(j+k)| |2a^2(j+k)|) cos(θ) = 16a^4 / (8a^2 * 2a^2) cos(θ) = 1

Известно, что cos(π/4) = 1, следовательно, тангенс угла между плоскостями АВ1С и АВС равен tg(π/4) = 1.