Апофема правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 8,радиус описанной около основания окружности...

Для решения этой задачи нужно использовать свойства правильной четырехугольной пирамиды и понятие двугранного угла при основании.

1. Определения и данные задачи:

   • Апофема пирамиды (высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды на середину стороны основания) равна 8.
   • Радиус описанной окружности около основания равен 3.

2. Правильная четырехугольная пирамида:

   • Основание — квадрат.
   • Центр описанной окружности совпадает с центром квадрата. Радиус описанной окружности основания равен половине диагонали квадрата.

3. Найдем сторону основания:

   • Пусть сторона квадрата основания равна ( a ).
   • Диагональ квадрата равна ( a\sqrt{2} ).
   • Так как радиус описанной окружности равен 3, то [ \frac{a\sqrt{2}}{2} = 3 \quad \Rightarrow \quad a\sqrt{2} = 6 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}. ]

4. Рассмотрим треугольник, образованный апофемой:

   • Это равнобедренный треугольник, где апофема является высотой боковой грани.
   • Из центра основания (центра квадрата) опускаем перпендикуляр на сторону основания, который делит сторону пополам. Длина этого перпендикуляра равна половине стороны квадрата: [ \frac{a}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}. ]

5. Найдем высоту пирамиды ( h ):

   • В прямоугольном треугольнике, образованном апофемой, высотой пирамиды и радиусом описанной окружности: [ h^2 + \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 8^2. ]
   • Вычислим ( h ): [ h^2 + \frac{18}{4} = 64 \quad \Rightarrow \quad h^2 + 4.5 = 64 \quad \Rightarrow \quad h^2 = 59.5 \quad \Rightarrow \quad h = \sqrt{59.5}. ]

6. Найдем косинус двугранного угла при основании:

   • Двугранный угол при основании определяется углом между высотой пирамиды и апофемой.
   • Косинус этого угла равен отношению высоты пирамиды к апофеме: [ \cos\theta = \frac{h}{8} = \frac{\sqrt{59.5}}{8}. ]

Таким образом, косинус двугранного угла при основании пирамиды равен (\frac{\sqrt{59.5}}{8}).

Для нахождения косинуса двугранного угла при основании пирамиды можно воспользоваться формулой косинуса для треугольника.

Обозначим за O центр описанной окружности основания пирамиды. Так как радиус описанной около основания окружности равен 3, то OA = OB = OC = OD = 3.

Также обозначим за M середину ребра AB. Тогда треугольник OMA является прямоугольным, так как OM - медиана, а радиус описанной около основания окружности перпендикулярен к хорде. Поэтому по теореме Пифагора имеем:

OM^2 = OA^2 - AM^2 OM^2 = 3^2 - (8/2)^2 OM^2 = 9 - 16 OM^2 = -7

Так как OM^2 получился отрицательным, то такой треугольник не существует, а следовательно, искомый косинус двугранного угла при основании пирамиды не существует.