Апофема правильной шестиугольной пирамиды KABCDEF равна 6, радиус окружности, вписаной в основание пирамиды...

Для решения этой задачи нужно последовательно выполнить несколько шагов:

1. Понимание структуры пирамиды:

   • Данная пирамида является правильной шестиугольной пирамидой, следовательно, её основание – правильный шестиугольник.
   • Апофема пирамиды – это высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды на середину ребра основания.

2. Радиус вписанной окружности:

   • Для правильного шестиугольника радиус вписанной окружности ( r ) связан со стороной шестиугольника ( a ) следующим образом: [ r = \frac{a \sqrt{3}}{2} ]
   • В данной задаче радиус ( r ) равен 5, поэтому: [ 5 = \frac{a \sqrt{3}}{2} \implies a = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10 \sqrt{3}}{3} ]

3. Площадь основания:

   • Площадь правильного шестиугольника ( S{\text{осн}} ) можно вычислить по формуле: [ S{\text{осн}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2 ]
   • Подставляем найденное значение ( a ): [ S_{\text{осн}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \left( \frac{10 \sqrt{3}}{3} \right)^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{300}{9} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{100}{3} = 50 \sqrt{3} ]

4. Высота боковой грани (апофема):

   • Апофема пирамиды ( 6 ) является высотой боковой грани. Для правильной пирамиды боковые грани – это равнобедренные треугольники. Половина стороны основания равна ( \frac{a}{2} ): [ \frac{a}{2} = \frac{5 \sqrt{3}}{3} ]

5. Высота пирамиды:

   • Высота ( h ) пирамиды опускается из вершины пирамиды на центр основания. Используем теорему Пифагора для треугольника, где апофема является гипотенузой: [ h^2 + \left( \frac{5 \sqrt{3}}{3} \right)^2 = 6^2 ] [ h^2 + \frac{75}{9} = 36 ] [ h^2 + \frac{25}{3} = 36 ] [ h^2 = 36 - \frac{25}{3} = \frac{108 - 25}{3} = \frac{83}{3} ] [ h = \sqrt{\frac{83}{3}} ]

6. Боковая поверхность пирамиды:

   • Площадь боковой поверхности ( S{\text{бок}} ) пирамиды рассчитывается как сумма площадей всех боковых граней: [ S{\text{бок}} = 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot \text{апофема} ] [ S_{\text{бок}} = 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{10 \sqrt{3}}{3} \cdot 6 = 3 \cdot \frac{60 \sqrt{3}}{3} = 60 \sqrt{3} ]

7. Полная площадь поверхности пирамиды:

   • Полная площадь поверхности ( S{\text{полн}} ) пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: [ S{\text{полн}} = S{\text{осн}} + S{\text{бок}} = 50 \sqrt{3} + 60 \sqrt{3} = 110 \sqrt{3} ]

Таким образом, площадь полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды равна ( 110 \sqrt{3} ).

Для того чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды, нам необходимо найти площадь боковой поверхности и добавить к ней площадь основания.

Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти по формуле: Sб = (1/2) периметр основания апофема. Для шестиугольника периметр основания равен 6 сторона. Так как у нас нет информации о стороне шестиугольника, нам нужно найти ее. Рассмотрим правильный шестиугольник KABCDEF. Разделим его на равносторонний треугольник KAB и правильный треугольник KAD. Тогда у треугольника KAB сторона равна апофеме, а у треугольника KAD сторона равна радиусу вписанной в него окружности, то есть 5. Так как у треугольника KAB и KAD общая вершина K, то угол между их сторонами равен 120 градусам (360 градусов / 3). По теореме косинусов мы можем найти сторону шестиугольника по формуле: a = √(5^2 + 6^2 - 256cos(120°)) ≈ 8.46.

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности: Sб = (1/2) 6 8.46 * 6 ≈ 76.14.

Площадь основания пирамиды можно найти по формуле площади правильного шестиугольника: Sосн = (3√3) / 2 * a^2 ≈ 185.96.

Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания: S = 76.14 + 185.96 ≈ 262.1.

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности. Площадь основания равна 6^2 √3 / 4 = 9√3. Площадь боковой поверхности равна 6 5 = 30. Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды равна 9√3 + 30 = 9√3 + 30.