Апофема правильной шестиугольной пирамиды mabcdef равна 7. Радиус окружности, вписанной в основание...

Для начала найдем высоту пирамиды. Мы знаем, что апофема правильной пирамиды равна 7, а радиус вписанной окружности равен 3. Так как пирамида правильная, то высота пирамиды будет равна произведению апофемы на корень из 3, то есть h = 7√3.

Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Она равна половине произведения периметра основания на апофему, то есть Sбок = 3m * 7 / 2 = 21m / 2.

Площадь основания пирамиды равна 6 (3^2 √3) / 2 = 27√3.

Теперь можем найти площадь полной поверхности пирамиды. Она равна сумме площади боковой поверхности и площади основания, умноженной на 6 (учитывая все грани пирамиды), то есть Sполн = 21m / 2 + 6 * 27√3 = 21m / 2 + 162√3.

Чтобы найти площадь полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды, нам нужно вычислить площадь её основания и площадь всех боковых граней.

1. Площадь основания:

Основание пирамиды является правильным шестиугольником. Для правильного шестиугольника, площадь ( S ) может быть найдена через радиус вписанной окружности ( r ). Формула для площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности ( r ) (апофему) выглядит так: [ S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} r^2 ]

В нашем случае, радиус вписанной окружности равен 3: [ S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 3^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 9 = \frac{27 \sqrt{3}}{2} ]

1. Площадь боковых граней:

Каждая боковая грань пирамиды является равнобедренным треугольником. Апофема пирамиды (высота боковой грани) равна 7.

Для того чтобы найти площадь одной боковой грани, нам нужно знать длину стороны основания правильного шестиугольника. Сторона правильного шестиугольника ( a ) связана с радиусом вписанной окружности следующим образом: [ a = 2r \cdot \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot 3 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2 \sqrt{3} ]

Теперь найдем площадь одного треугольника: [ \text{Площадь треугольника} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3} \times 7 = 7 \sqrt{3} ]

Поскольку у пирамиды 6 боковых граней: [ \text{Общая площадь всех боковых граней} = 6 \times 7 \sqrt{3} = 42 \sqrt{3} ]

1. Полная площадь поверхности:

Теперь суммируем площадь основания и площадь боковых граней: [ \text{Площадь полной поверхности} = \text{площадь основания} + \text{площадь боковых граней} ] [ \text{Площадь полной поверхности} = \frac{27 \sqrt{3}}{2} + 42 \sqrt{3} ]

Приведем к общему знаменателю: [ \frac{27 \sqrt{3}}{2} + 42 \sqrt{3} = \frac{27 \sqrt{3}}{2} + \frac{84 \sqrt{3}}{2} = \frac{27 \sqrt{3} + 84 \sqrt{3}}{2} = \frac{111 \sqrt{3}}{2} ]

Таким образом, площадь полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды равна: [ \boxed{\frac{111 \sqrt{3}}{2}} ]