Биссектриса углов A и D параллелограмма ABCD в точке М, лежащей на стороне BC. Найдите стороны параллелограмма,...

Для решения задачи введем некоторые обозначения и воспользуемся свойствами параллелограмма и биссектрисы.

Пусть стороны параллелограмма ABCD равны ( AB = CD = a ) и ( BC = DA = b ). Поскольку периметр параллелограмма равен 36 см, мы можем записать уравнение:

[ 2a + 2b = 36 ]

Отсюда следует, что:

[ a + b = 18 ]

Теперь рассмотрим биссектрисы углов ( A ) и ( D ). Поскольку ( M ) — точка пересечения биссектрис, лежащая на стороне ( BC ), можно воспользоваться свойством биссектрисы, которое гласит, что биссектриса делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон.

Для угла ( A ), биссектриса делит сторону ( BC ) в отношении ( AB : AC ) (причем ( AC = b )), а для угла ( D ) — в отношении ( DA : DC ) (где ( DA = b ) и ( DC = a )).

Так как точки ( M ) лежит на обеих биссектрисах, она делит сторону ( BC ) в одном и том же отношении, то есть:

[ \frac{AB}{AC} = \frac{DA}{DC} ]

Подставляя известные значения, получаем:

[ \frac{a}{b} = \frac{b}{a} ]

Из этого уравнения видно, что ( a = b ).

Теперь, подставляя ( a = b ) в уравнение ( a + b = 18 ), получаем:

[ 2a = 18 ]

[ a = 9 ]

Таким образом, стороны параллелограмма равны ( a = 9 ) см и ( b = 9 ) см.

Подведем итог: стороны параллелограмма ABCD равны 9 см, что соответствует квадрату с периметром 36 см.

Пусть стороны параллелограмма ABCD равны a и b. Так как биссектриса углов A и D параллелограмма ABCD делит сторону BC пополам, то BM = MC = b/2. Также из условия задачи известно, что периметр параллелограмма равен 36 см, то есть a + b + a + b = 36, или 2a + 2b = 36, что можно упростить до a + b = 18.

Так как биссектриса углов A и D параллелограмма ABCD делит сторону AD пополам, то MD = MA = a/2. Теперь мы можем применить теорему косинусов к треугольнику MBC:

b^2 = (b/2)^2 + (a/2)^2 - 2 (b/2) (a/2) * cos(∠BMC).

Учитывая, что угол BMD равен углу CMB (так как BM = MC), угол BMD равен половине угла A или D (так как MD = MA), и угол CMB равен половине угла B или C (так как BM = MC), то угол BMC равен половине суммы углов B и C, или 180 - (A + D) / 2. Так как углы A и D смежные и дополняют друг друга, их сумма равна 180 градусов, и угол BMC равен 90 градусов.

Подставляя угол BMC = 90 градусов в уравнение, получаем:

b^2 = (b/2)^2 + (a/2)^2 - 2 (b/2) (a/2) * cos(90).

Решая это уравнение, получаем:

b^2 = (b^2)/4 + (a^2)/4, 3b^2 = a^2.

Теперь мы можем использовать уравнение a + b = 18 и a = √3b, чтобы найти значения сторон a и b:

√3b + b = 18, √3b = 18 - b, 3b = (18 - b)^2, 3b = 324 - 36b + b^2, 3b = 324 - 36b + 3b^2, 3b^2 - 39b + 324 = 0, b^2 - 13b + 108 = 0, (b - 9)(b - 4) = 0.

Таким образом, б = 9 см и а = 9√3 см. Итак, стороны параллелограмма ABCD равны 9 см и 9√3 см.