Боковая поверхность конуса равна 15 П см^2, а его радиус равен 3 см. Найти высоту конуса

Для нахождения высоты конуса используем формулу боковой поверхности конуса: S = π r l, где r - радиус основания, l - образующая конуса. Так как известны S и r, подставляем значения и находим l: 15П = π 3 l l = 15П / (3π) = 5 см. Теперь, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, где один катет равен радиусу, а другой - высоте, находим высоту конуса: h^2 = l^2 - r^2 h^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 h = √16 = 4 см. Ответ: высота конуса равна 4 см.

Для решения данной задачи нам необходимо использовать формулу для нахождения площади боковой поверхности конуса:

S = π r l,

где S - площадь боковой поверхности конуса, r - радиус основания конуса, l - образующая конуса.

Так как нам известно, что S = 15π см^2 и r = 3 см, подставляем данные в формулу:

15π = π 3 l.

Делим обе части уравнения на π и на 3:

15 = 3 * l.

Отсюда находим значение образующей конуса l:

l = 15 / 3 = 5 см.

Теперь, для нахождения высоты конуса нам нужно воспользоваться теоремой Пифагора для правильного треугольника, образованного радиусом основания, образующей и высотой конуса:

h^2 = l^2 - r^2, h^2 = 5^2 - 3^2, h^2 = 25 - 9, h^2 = 16.

Извлекаем корень из обеих сторон уравнения:

h = √16, h = 4 см.

Таким образом, высота конуса равна 4 см.

Чтобы найти высоту конуса, нам нужно использовать формулу для площади боковой поверхности конуса. Боковая поверхность конуса вычисляется по формуле:

[ S = \pi r l, ]

где ( S ) — площадь боковой поверхности, ( r ) — радиус основания, а ( l ) — образующая конуса.

Нам даны:

• ( S = 15\pi ) см²,
• ( r = 3 ) см.

Подставим данные в формулу:

[ 15\pi = \pi \times 3 \times l. ]

Теперь упростим уравнение:

[ 15\pi = 3\pi l. ]

Разделим обе стороны уравнения на (\pi):

[ 15 = 3l. ]

Теперь решим уравнение для ( l ):

[ l = \frac{15}{3} = 5 \text{ см}. ]

Итак, мы нашли, что образующая ( l = 5 ) см. Далее используем теорему Пифагора, чтобы найти высоту ( h ) конуса. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса, радиусом основания и образующей, выполняется:

[ l^2 = r^2 + h^2. ]

Подставим известные значения:

[ 5^2 = 3^2 + h^2. ]

Упростим уравнение:

[ 25 = 9 + h^2. ]

Вычтем 9 из обеих сторон уравнения:

[ 25 - 9 = h^2, ]

[ 16 = h^2. ]

Теперь найдём ( h ), взяв квадратный корень из обеих сторон:

[ h = \sqrt{16} = 4 \text{ см}. ]

Таким образом, высота конуса равна ( 4 ) см.