Боковая сторона равнобедренного треугольника, основание которого 4см, делится точкой касания вписанной...

Периметр равнобедренного треугольника равен 12см.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами равнобедренного треугольника и окружности, вписанной в него.

Пусть точка касания окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону на отрезки длиной 3x и 2x, где x - некоторая величина.

Так как треугольник равнобедренный, то мы знаем, что высота, опущенная из вершины на основание, является также медианой и биссектрисой. Это означает, что отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой касания вписанной окружности, делит медиану и биссектрису в отношении 2:1.

Из этого следует, что отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой касания вписанной окружности, делит сторону треугольника, параллельную этой стороне, в отношении 2:1.

Таким образом, мы можем записать следующее уравнение: 4 = 3x + 2x 4 = 5x x = 4/5 = 0.8

Теперь можем найти длину стороны треугольника, соединяющей вершину с точкой касания: 3x = 3 0.8 = 2.4 см 2x = 2 0.8 = 1.6 см

Теперь можем найти длину основания треугольника: 2 * 2.4 = 4.8 см

И, наконец, можем найти периметр треугольника: Периметр = 4.8 + 2.4 + 2.4 = 9.6 см

Таким образом, периметр равнобедренного треугольника равен 9.6 см.

Для решения задачи сначала введем обозначения и определимся с известными величинами.

Пусть ( ABC ) - равнобедренный треугольник с основанием ( BC = 4 ) см, а боковые стороны равны ( AB = AC = x ) см. В треугольник вписана окружность, которая касается стороны ( AB ) в точке ( D ), стороны ( BC ) в точке ( E ), и стороны ( AC ) в точке ( F ).

По условию, точка касания ( D ) делит боковую сторону ( AB ) в отношении ( 3:2 ), считая от вершины ( A ). Это означает, что отрезок ( AD = \frac{3}{5}x ) и ( DB = \frac{2}{5}x ).

Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Поэтому ( AD = AF ) и ( BD = BE ). Аналогично, ( CE = CF ).

Теперь выразим отрезки касательных через полупериметр и радиус окружности. Полупериметр треугольника ( s ) равен: [ s = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{2x + 4}{2} = x + 2. ]

Заметим, что: [ AD = AF = s - AC = (x + 2) - x = 2, ] [ BD = BE = s - AC = (x + 2) - x = 2, ] [ CE = CF = s - AB = (x + 2) - x = 2. ]

С другой стороны, по условию: [ AD = \frac{3}{5}x. ]

Приравняем выражения для ( AD ): [ \frac{3}{5}x = 2. ]

Решая это уравнение, находим ( x ): [ x = \frac{2 \times 5}{3} = \frac{10}{3}. ]

Теперь найдём периметр треугольника: [ P = AB + BC + CA = x + 4 + x = 2x + 4 = 2 \times \frac{10}{3} + 4 = \frac{20}{3} + \frac{12}{3} = \frac{32}{3}. ]

Таким образом, периметр треугольника равен (\frac{32}{3}) см.