Боковая сторона равнобедренной трапеции равна десять корней из двух , и образует с основанием угол 45...

Для начала найдем основания трапеции. Поскольку боковая сторона равна 10√2, а угол между основанием и боковой стороной равен 45 градусам, то мы можем разделить трапецию на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Таким образом, высота треугольника равна 10, а катеты равны 10 и 10√2. Значит, длина основания трапеции равна 20√2.

Теперь найдем радиус вписанной окружности. Он равен половине разности длин оснований трапеции, то есть (20√2 - 10√2)/2 = 5√2.

Площадь вписанной окружности можно найти по формуле S = πr^2, где r - радиус окружности. Подставляя значения, получаем S = π*(5√2)^2 = 50π.

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна 50π.

Для решения задачи найдем площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность. Условие вписанности окружности означает, что сумма длин оснований равнобедренной трапеции равна сумме длин боковых сторон.

Дано:

• Боковая сторона (AD = BC = 10\sqrt{2}).
• Угол между боковой стороной и основанием (\angle DAB = \angle BCD = 45^\circ).

Поскольку угол между боковой стороной и основанием равен (45^\circ), проведем высоты из точек (B) и (C) на основание (AD), обозначим их как (BH) и (CK). Эти высоты будут равны:

[ BH = CK = 10\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10. ]

Поскольку высоты (BH) и (CK) равны, основание (BC) будет параллельно основанию (AD), а длина отрезков (AH) и (DK) также равны. Обозначим их как (x).

Теперь найдем длину основания (BC):

Поскольку (AB = CD = 10\sqrt{2}), то:

[ AH = DK = 10\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10. ]

Таким образом, длина основания (BC) равна:

[ BC = AD - AH - DK = AD - 2 \times 10 = AD - 20. ]

Из условия вписанности окружности в трапецию выполняется:

[ AD + BC = AB + CD. ]

Подставим известные значения:

[ AD + (AD - 20) = 2 \times 10\sqrt{2}. ]

Объединим и упростим:

[ 2AD - 20 = 20\sqrt{2}. ]

Решим уравнение относительно (AD):

[ 2AD = 20\sqrt{2} + 20, ]

[ AD = 10\sqrt{2} + 10. ]

Теперь найдем длину основания (BC):

[ BC = AD - 20 = (10\sqrt{2} + 10) - 20 = 10\sqrt{2} - 10. ]

Теперь можем найти площадь трапеции по формуле:

[ S = \frac{1}{2} \times (AD + BC) \times h, ]

где (h = 10).

Подставим значения:

[ S = \frac{1}{2} \times ((10\sqrt{2} + 10) + (10\sqrt{2} - 10)) \times 10, ]

[ S = \frac{1}{2} \times (20\sqrt{2}) \times 10, ]

[ S = 10 \times 20\sqrt{2}, ]

[ S = 200\sqrt{2}. ]

Итак, площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна (200\sqrt{2}).

Площадь трапеции равна 50+25π.