Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды образует угол в 60 градусов с плоскостью основания....

Чтобы найти площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, сначала нужно определить некоторые ключевые параметры, такие как высота пирамиды, апофема боковой грани и длина стороны основания.

1. Определение высоты пирамиды:

Пусть (O) — вершина пирамиды, (ABCD) — квадратное основание, а (S) — точка на основании, лежащая прямо под вершиной пирамиды. Тогда (OS) — высота пирамиды, а (SA) — апофема боковой грани. Также пусть (OA) — боковое ребро, равное 12 см.

Так как боковое ребро образует угол 60 градусов с плоскостью основания, угол (OSA = 60^\circ).

Используя тригонометрические соотношения в треугольнике (OSA), можно найти высоту (OS):

[ \cos(60^\circ) = \frac{OS}{OA} ]

[ \cos(60^\circ) = \frac{OS}{12} ]

[ \frac{1}{2} = \frac{OS}{12} ]

[ OS = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см} ]

1. Определение апофемы боковой грани:

Апофема боковой грани (SA) связана с боковым ребром и высотой:

[ \sin(60^\circ) = \frac{SA}{OA} ]

[ \sin(60^\circ) = \frac{SA}{12} ]

[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{SA}{12} ]

[ SA = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ см} ]

1. Определение длины стороны основания:

Рассмотрим треугольник (SAC), где (C) — центр основания квадрата. В этом треугольнике (SC) равно половине диагонали квадрата:

[ SC = \frac{a\sqrt{2}}{2} ]

Где (a) — сторона квадрата. Но в то же время (SC) является гипотенузой в треугольнике (OSC):

[ SC = \sqrt{OS^2 + OC^2} = \sqrt{6^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} ]

Так как (S) — центр квадрата, то (OC = \frac{a}{2}):

[ \frac{a\sqrt{2}}{2} = \sqrt{6^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} ]

Упростим уравнение:

[ \frac{a\sqrt{2}}{2} = \sqrt{36 + \frac{a^2}{4}} ]

Возводим обе стороны в квадрат:

[ \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 36 + \frac{a^2}{4} ]

[ \frac{a^2 \cdot 2}{4} = 36 + \frac{a^2}{4} ]

[ \frac{a^2}{2} = 36 + \frac{a^2}{4} ]

Умножим все на 4:

[ 2a^2 = 144 + a^2 ]

[ 2a^2 - a^2 = 144 ]

[ a^2 = 144 ]

[ a = 12 \text{ см} ]

1. Определение площади основания:

Площадь основания пирамиды с длиной стороны квадрата (a = 12) см:

[ S_{\text{основания}} = a^2 = 12^2 = 144 \text{ см}^2 ]

1. Определение площади боковой поверхности:

Каждая боковая грань пирамиды — это равнобедренный треугольник с основанием (a = 12) см и высотой (апофемой) (SA = 6\sqrt{3}) см. Площадь каждой боковой грани:

[ S_{\text{грань}} = \frac{1}{2} a \cdot SA = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6\sqrt{3} = 36\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

Так как у пирамиды 4 боковые грани, общая площадь боковой поверхности:

[ S_{\text{боковая}} = 4 \cdot 36\sqrt{3} = 144\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

1. Определение полной площади поверхности:

Полная площадь поверхности пирамиды включает площадь основания и боковой поверхности:

[ S{\text{полная}} = S{\text{основания}} + S_{\text{боковая}} = 144 + 144\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

Итак, площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды составляет:

[ 144 + 144\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

Площадь поверхности пирамиды равна 216 кв.см.

Для решения данной задачи нам необходимо найти боковую площадь пирамиды, которая складывается из четырех треугольников, образующих боковые грани.

Зная, что боковое ребро равно 12 см и угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60 градусов, мы можем найти высоту бокового треугольника с помощью тригонометрических функций. Высота равна h = 12 sin(60) = 12 √3/2 = 6√3 см.

Теперь найдем площадь одного бокового треугольника: S = 1/2 основание высота = 1/2 12 6√3 = 36√3 см².

Так как у нас четыре боковых треугольника, то общая площадь поверхности пирамиды будет равна: S = 4 * 36√3 = 144√3 см².

Итак, площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна 144√3 квадратных сантиметров.