Большее основание трапеции относится к средней линии как 4:3, а меньшее основание равно 12см. Найдите...

Для решения задачи начнем с того, что обозначим известные величины и используем свойства трапеции.

1. Обозначим величины:

   • Пусть ( a ) — большее основание трапеции.
   • Пусть ( b = 12 ) см — меньшее основание трапеции.
   • Пусть ( m ) — средняя линия трапеции.

2. Соотношение оснований: У нас есть соотношение между большим основанием и средней линией, которое равно ( 4:3 ). Это означает, что если мы обозначим среднюю линию как ( m ), то можно записать следующее уравнение для больших оснований: [ \frac{a}{m} = \frac{4}{3} ] Из этого уравнения можем выразить большое основание ( a ): [ a = \frac{4}{3} m ]

3. Свойство средней линии: Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: [ m = \frac{a + b}{2} ]

4. Подставим известные значения: Подставим значение ( b ) в формулу средней линии: [ m = \frac{a + 12}{2} ]

5. Теперь у нас есть две формулы для ( a ) и ( m ): Сначала выразим ( a ) через ( m ): [ a = \frac{4}{3} m ]

   Затем подставим это выражение для ( a ) в формулу средней линии: [ m = \frac{\frac{4}{3}m + 12}{2} ]

6. Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби: [ 2m = \frac{4}{3} m + 12 ]

7. Умножим всё уравнение на 3, чтобы избавиться от дроби: [ 6m = 4m + 36 ]

8. Теперь решим это уравнение для ( m ): [ 6m - 4m = 36 ] [ 2m = 36 ] [ m = 18 \text{ см} ]

9. Ответ: Средняя линия трапеции равна 18 см.

Таким образом, мы нашли среднюю линию трапеции, используя свойства отношений между основаниями и средней линией.

Для решения задачи давайте разберемся с понятием средней линии трапеции и применим формулу.

Основные понятия:

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Она обладает таким свойством: длина средней линии равна полусумме длин оснований трапеции.

Формула средней линии трапеции: [ m = \frac{a + b}{2}, ] где:

• (m) — длина средней линии,
• (a) — длина большего основания,
• (b) — длина меньшего основания.

Дано в задаче:

1. Отношение большего основания ((a)) к средней линии ((m)) равно (4:3), то есть: [ \frac{a}{m} = \frac{4}{3}. ]
2. Длина меньшего основания ((b)) равна (12) см.

Необходимо найти длину средней линии ((m)).

Решение:

1. Из формулы средней линии: [ m = \frac{a + b}{2}. ] Подставим известное значение (b = 12): [ m = \frac{a + 12}{2}. ]

2. Из условия задачи известно, что (\frac{a}{m} = \frac{4}{3}). Отсюда: [ a = \frac{4}{3}m. ]

3. Подставим (a = \frac{4}{3}m) в формулу для средней линии: [ m = \frac{\frac{4}{3}m + 12}{2}. ]

4. Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби в знаменателе: [ 2m = \frac{4}{3}m + 12. ]

5. Перенесем (\frac{4}{3}m) в левую часть уравнения: [ 2m - \frac{4}{3}m = 12. ]

6. Приведем к общему знаменателю: [ \frac{6}{3}m - \frac{4}{3}m = 12. ]

   [ \frac{2}{3}m = 12. ]

7. Умножим обе стороны уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби: [ 2m = 36. ]

8. Разделим обе стороны на 2: [ m = 18. ]

Ответ:

Длина средней линии трапеции равна 18 см.

Проверка:

1. Найдем большее основание (a): [ a = \frac{4}{3}m = \frac{4}{3} \cdot 18 = 24 \, \text{см}. ]

2. Проверим формулу средней линии: [ m = \frac{a + b}{2} = \frac{24 + 12}{2} = \frac{36}{2} = 18 \, \text{см}. ]

Все верно!

Обозначим большее основание трапеции как ( a ), меньшее основание как ( b = 12 ) см, а среднюю линию как ( m ).

Согласно условию, отношение большего основания к средней линии составляет ( 4:3 ). Это можно записать как:

[ \frac{a}{m} = \frac{4}{3} ]

Отсюда выражаем ( a ):

[ a = \frac{4}{3}m ]

Также известно, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

[ m = \frac{a + b}{2} ]

Подставим значение ( b ):

[ m = \frac{a + 12}{2} ]

Теперь у нас есть две формулы для ( a ) и ( m ). Подставим первое уравнение во второе:

[ m = \frac{\frac{4}{3}m + 12}{2} ]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

[ 2m = \frac{4}{3}m + 12 ]

Умножим всё уравнение на 3, чтобы избавиться от знаменателей:

[ 6m = 4m + 36 ]

Теперь вычтем ( 4m ) из обеих сторон:

[ 2m = 36 ]

Теперь решим для ( m ):

[ m = \frac{36}{2} = 18 \text{ см} ]

Таким образом, средняя линия трапеции равна 18 см.