Через образующую цилиндра проведены два взаимно перпендикулярных сечения с одинаковой площадью — 40...

Рассмотрим цилиндр, через который проведены два взаимно перпендикулярных сечения, каждое из которых имеет площадь 40 квадратных единиц. Эти сечения проходят через одну из образующих цилиндра. Определим площадь осевого сечения цилиндра.

1. Осевое сечение цилиндра — это сечение, проходящее через ось цилиндра. Для кругового цилиндра осевое сечение представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра ( h ), а другая — диаметру основания цилиндра ( 2r ).

2. Образующая цилиндра — это прямая, соединяющая две точки на противоположных основаниях цилиндра и параллельная его оси. Длина образующей равна высоте цилиндра ( h ).

3. Рассмотрим два взаимно перпендикулярных сечения:

   • Первое сечение проходит через образующую и параллельно оси цилиндра, пересекает основание по хорде. Площадь данного сечения равна 40 кв.ед.изм.
   • Второе сечение также проходит через образующую и перпендикулярно первому сечению, пересекает основание по другой хорде. Площадь этого сечения также равна 40 кв.ед.изм.

4. Заметим, что пересечение каждого из этих сечений с основанием цилиндра образует прямоугольник, одна сторона которого равна высоте ( h ), а другая — хорда основания цилиндра. Эти хорды перпендикулярны друг другу и делят основание на четыре равные части.

5. Площадь сечения равна произведению длины его сторон. Пусть длина хорды первого сечения равна ( 2a ), а второго — ( 2b ). Тогда: [ h \cdot 2a = 40 \quad \text{и} \quad h \cdot 2b = 40 ] Отсюда: [ a = \frac{20}{h} \quad \text{и} \quad b = \frac{20}{h} ]

6. Стороны прямоугольного треугольника, образованного этими хордами в основании цилиндра, связанные радиусом ( r ): [ (2a)^2 + (2b)^2 = (2r)^2 ] Подставим значения ( a ) и ( b ): [ \left( \frac{40}{h} \right)^2 + \left( \frac{40}{h} \right)^2 = (2r)^2 ] [ \frac{1600}{h^2} + \frac{1600}{h^2} = 4r^2 ] [ \frac{3200}{h^2} = 4r^2 ] [ r^2 = \frac{800}{h^2} ] [ r = \frac{\sqrt{800}}{h} ]

7. Площадь осевого сечения цилиндра равна ( 2r \cdot h ): [ \text{Площадь} = 2 \cdot \frac{\sqrt{800}}{h} \cdot h = 2\sqrt{800} = 2 \cdot 20\sqrt{2} = 40\sqrt{2} ]

Таким образом, площадь осевого сечения цилиндра составляет ( 40\sqrt{2} ) квадратных единиц.

Площадь осевого сечения цилиндра равна 40 кв.ед.изм.

Для решения данной задачи нам необходимо знать формулу для вычисления площади осевого сечения цилиндра. Площадь осевого сечения цилиндра равна произведению площади любого из его сечений на высоту цилиндра.

Пусть S - площадь осевого сечения цилиндра, S_первого - площадь одного из взаимно перпендикулярных сечений, S_второго - площадь другого сечения, h - высота цилиндра.

Из условия задачи имеем: S_первого = S_второго = 40 кв.ед.изм.

Тогда S = S_первого h = 40 h

Известно, что площадь боковой поверхности цилиндра равна 2πRh, где R - радиус цилиндра.

Так как площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению площади осевого сечения на высоту, то 2πRh = S * h

Подставляем выражение для S: 2πRh = 40h^2

Отсюда находим выражение для площади осевого сечения цилиндра: S = 40πR/2 = 20πR

Таким образом, площадь осевого сечения цилиндра равна 20πR квадратных единиц.