Через середину диагонали BD прямоугольника ABCD проведена прямая, которая пересекает сторону BC и AD...

Площадь AMCK равна 6 кв. см.

Для решения этой задачи нам необходимо найти площадь четырехугольника AMCK. Для этого мы можем воспользоваться тем, что середина диагонали прямоугольника делит ее пополам, а также соотношением подобия треугольников.

Итак, по условию, BD = 10 см, BM = 6 см и MC = 2 см. Так как точка M - середина диагонали BD, то AM = MD = BD / 2 = 10 / 2 = 5 см.

Также, из подобия треугольников BMD и BMC следует, что BM / MC = MD / AM. Подставляем известные значения и получаем: 6 / 2 = 5 / AM. Отсюда находим AM = 10 см.

Теперь можем найти площадь четырехугольника AMCK. Для этого можем разделить его на два треугольника по диагонали AC. Площадь четырехугольника AMCK равна сумме площадей треугольника AMC и треугольника CKM.

Площадь треугольника AMC можно найти по формуле площади треугольника S = 0.5 a h, где a - основание треугольника, h - высота треугольника. В данном случае a = AM = 10 см, h = MC = 2 см. Площадь треугольника AMC равна 0.5 10 2 = 10 см².

Площадь треугольника CKM можно найти аналогичным образом. a = CK = 10 - 6 = 4 см, h = MC = 2 см. Площадь треугольника CKM равна 0.5 4 2 = 4 см².

Таким образом, площадь четырехугольника AMCK равна сумме площадей треугольника AMC и треугольника CKM, то есть 10 + 4 = 14 см².

Для решения задачи найдем площадь четырехугольника AMCK, используя данную информацию.

1. Разберемся с диагональю BD:

   Диагональ BD делит прямоугольник ABCD на два треугольника с равными площадями. Так как BD = 10 см, середина диагонали BD будет находиться на расстоянии 5 см от каждой из вершин B и D. Обозначим эту середину как точку O.

2. Рассмотрим расположение точек и направлений:

   • Поскольку BM = 6 см и MC = 2 см, длина стороны BC равна BM + MC = 8 см.
   • Точка M находится на стороне BC, следовательно, BM = 6 см означает, что точка M делит сторону BC в отношении 6:2.

3. Рассмотрим треугольники:

   Четырехугольник AMCK состоит из треугольников AMO, MOC, и прямоугольника OCKA, где O — середина диагонали BD.

4. Рассчитаем длину стороны AD:

   Поскольку BC = 8 см, и в прямоугольнике противоположные стороны равны, сторона AD также равна 8 см.

5. Рассчитаем площадь четырехугольника AMCK:

   Для этого разделим AMCK на два треугольника — AMO и MOC — и прямоугольник OCKA.

   • Площадь треугольника AMO: Так как O — середина диагонали и AM проходит через нее, площадь треугольника AMO будет равна половине площади треугольника ABD. Площадь ABD можно найти, используя формулу площади треугольника через диагональ: ((1/2) \cdot AD \cdot BD). Поскольку AD = 8 см и BD = 10 см, площадь ABD = ( \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 = 40 \, \text{см}^2 ). Таким образом, площадь AMO = ( \frac{1}{2} \cdot 40 = 20 \, \text{см}^2 ).

   • Площадь треугольника MOC: Площадь MOC равна оставшейся части от площади треугольника BOC, так как M делит BC в отношении 6:2, то площадь MOC = ( \frac{1}{4} \cdot 40 = 10 \, \text{см}^2 ).

   • Площадь прямоугольника OCKA: Так как OCKA — это прямоугольник с одной стороной OC (равной половине BD, то есть 5 см) и второй AK (равной AD, то есть 8 см), площадь OCKA = ( 5 \cdot 8 = 40 \, \text{см}^2 ).

Общая площадь четырехугольника AMCK = площадь AMO + площадь MOC + площадь OCKA = ( 20 \, \text{см}^2 + 10 \, \text{см}^2 + 40 \, \text{см}^2 = 70 \, \text{см}^2 ).

Ответ: Площадь четырехугольника AMCK равна 70 см².