Через середину Е гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведен к его плоскости перпендикуляр ЕМ,равный 4корней из 5. АС=ВС=16см, уголС=90градусов. Вычислите: а)Расстояние от точки М до прямой АС б)площади треугольника АСМ и его проекции на плоскость данного треугольника. в)Расстояние между прямыми ЕМ и ВС
Для решения данной задачи, рассмотрим каждый пункт по отдельности.
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ( \triangle ABC ): [ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{16^2 + 16^2} = \sqrt{256 + 256} = \sqrt{512} = 16\sqrt{2} \, \text{см}. ]
Так как ( E ) — середина гипотенузы ( AB ), её координаты будут средними арифметическими координат точек ( A ) и ( B ). Если положить координаты вершин ( A(16, 0, 0) ), ( B(0, 16, 0) ), ( C(0, 0, 0) ), то координаты точки ( E ): [ E \left( \frac{16+0}{2}, \frac{0+16}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = E(8, 8, 0). ]
Так как ( EM \perp \text{плоскости} \triangle ABC ) и длина ( EM = 4\sqrt{5} ), координаты точки ( M ): [ M(8, 8, 4\sqrt{5}). ]
Прямая ( AC ) лежит на оси ( x ) (проходя через точки ( (0, 0, 0) ) и ( (16, 0, 0) )). Используем формулу расстояния от точки ( M(x_1, y_1, z_1) ) до прямой ( L ), проходящей через точки ( P_1(x_2, y_2, z_2) ) и ( P_2(x_3, y_3, z_3) ).
Координаты ( P_1 ): ( (0, 0, 0) ), координаты ( P_2 ): ( (16, 0, 0) ). Параметрическое уравнение прямой ( AC ): [ r(t) = (16t, 0, 0). ]
Подставим координаты точки ( M(8, 8, 4\sqrt{5}) ) в формулу расстояния от точки до прямой: [ d = \frac{|(8-0)(0-0)-(0-0)(8-0)+(0-0)(4\sqrt{5}-0)|}{\sqrt{(x_3-x_2)^2 + (y_3-y_2)^2 + (z_3-z_2)^2}} = \frac{|(8)(0)-(0)(8)+0|}{\sqrt{(16-0)^2 + (0-0)^2 + (0-0)^2}} = \frac{|0|}{16} = 0. ]
Используем формулу для площади треугольника через координаты вершин: [ (A(16, 0, 0), C(0, 0, 0), M(8, 8, 4\sqrt{5})) ] Площадь: [ S_{\triangle ACM} = \frac{1}{2} \left| 16(0 - 4\sqrt{5}) + 0(4\sqrt{5} - 0) + 8(0 - 0) \right| = \frac{1}{2} \left| -64\sqrt{5} \right| = 32\sqrt{5}. ]
Так как ( M ) проецируется на точку ( E ) на плоскости ( ABC ), и ( E ) лежит на ( AB ), проекция треугольника ( \triangle ACM ) становится треугольником ( \triangle ACE ). Площадь ( \triangle ACE ): [ S_{\triangle ACE} = \frac{1}{2} \times AC \times CE = \frac{1}{2} \times 16 \times 8 = 64. ]
Прямая ( BC ) лежит на оси ( y ) (проходя через точки ( (0, 0, 0) ) и ( (0, 16, 0) )).
Так как ( EM ) перпендикулярна плоскости ( ABC ), расстояние между прямыми ( EM ) и ( BC ) равно расстоянию между точкой ( E ) и прямой ( BC ).
Используем формулу расстояния от точки до прямой: [ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} ] Для прямой ( BC ): [ x = 0, y = t, z = 0. ]
Координаты точки ( E(8, 8, 0) ): Расстояние ( d ): [ d = \frac{|8 - 0|}{\sqrt{1}} = 8. ]
Итак, итоги: а) Расстояние от ( M ) до ( AC ): ( 0 ). б) Площадь ( \triangle ACM ): ( 32\sqrt{5} ), площадь проекции: ( 64 ). в) Расстояние между ( EM ) и ( BC ): ( 8 ) см.
a) Расстояние от точки М до прямой AC равно половине гипотенузы треугольника ACM, так как точка М лежит на высоте треугольника АСМ, опущенной из вершины А. Таким образом, расстояние от точки М до прямой AC равно 8 см.
б) Площадь треугольника ACM равна половине произведения катета AC на высоту, проведенную к гипотенузе. Так как точка М лежит на высоте, то высота равна 4√5 см. Таким образом, площадь треугольника ACM равна 64 см².
Проекция треугольника ACM на плоскость данного треугольника будет прямоугольным треугольником с катетами 8 см и 4√5 см, что даст площадь 32 см².
в) Расстояние между прямыми EM и VC равно модулю разности высот треугольников АСМ и АВС. Высоты треугольников равны соответственно 4√5 см и 8 см. Таким образом, расстояние между прямыми EM и VC равно |8 - 4√5| см.
а) Расстояние от точки М до прямой АС равно 4 см. б) Площадь треугольника АСМ равна 48 кв. см, проекция треугольника на плоскость данного треугольника равна 32 кв. см. в) Расстояние между прямыми ЕМ и ВС равно 8 см.
