Через середину К гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведены прямые,параллельные его катетам.Одна из них пересекает катет АС в точке D,а другая-катет ВС в точке Е.Найдите отрезок DЕ.Если АВ=12 см?
Через середину К гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведены прямые,параллельные его катетам.Одна из них пересекает катет АС в точке D,а другая-катет ВС в точке Е.Найдите отрезок DЕ.Если АВ=12 см?
Чтобы найти длину отрезка DE, сначала рассмотрим свойства прямоугольного треугольника и параллельных прямых.
У нас есть прямоугольный треугольник ( \triangle ABC ) с гипотенузой ( AB = 12 ) см. Точка ( K ) — середина гипотенузы ( AB ), следовательно, ( AK = KB = 6 ) см.
Проведены прямые через точку ( K ), параллельные катетам ( AC ) и ( BC ). Пусть прямая, параллельная ( AC ), пересекает ( AC ) в точке ( D ), а прямая, параллельная ( BC ), пересекает ( BC ) в точке ( E ).
Поскольку прямые через ( K ) параллельны катетам, четырёхугольник ( KDEB ) является параллелограммом (параллельные стороны и сторона ( KE ) параллельна ( BD ), а ( KD ) параллелен ( BE )).
В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, ( KD = BE ).
Так как ( K ) — середина гипотенузы и прямые параллельны катетам, отрезок ( DE ) точно совпадает с отрезком ( AC ) или ( BC ), которые являются катетами прямоугольного треугольника.
Из теоремы Пифагора в треугольнике ( ABC ):
[ AB^2 = AC^2 + BC^2 ]
Подставим известное значение гипотенузы:
[ 12^2 = AC^2 + BC^2 ]
[ 144 = AC^2 + BC^2 ]
Так как ( KD ) и ( BE ) равны, а также ( \triangle AKD \sim \triangle CED ), то ( DE ) будет равно половине гипотенузы ( AB ) из-за того, что ( K ) — середина, и параллельных прямых.
Следовательно, ( DE = 6 ) см.
Таким образом, длина отрезка ( DE ) равна 6 см.
Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойство подобных треугольников.
Пусть F - середина гипотенузы AB. Тогда треугольники ADF и AFC подобны треугольникам ABC и AFB соответственно по двум углам, так как у них соответственные углы равны (по параллельным прямым).
Из подобия треугольников мы можем записать пропорцию длин сторон:
AD/AB = AF/AC
Так как F - середина гипотенузы AB, то AF = FB = 6 см, AC = BC = 8 см. Подставляя данные, получаем:
AD/12 = 6/8
AD = 9 см
Аналогично, из подобия треугольников AEB и BEC получаем:
BE/AB = AE/AC
BE = 3/4 AB = 3/4 12 = 9 см
Таким образом, отрезок DE равен 9 см.
