Через середину M стороны AB треугольника ABC проведена плоскость, параллельная прямой AC и пересекающая сторону BC в точке K. Докажите, что MK - средняя линия треугольника ABC
Через середину M стороны AB треугольника ABC проведена плоскость, параллельная прямой AC и пересекающая сторону BC в точке K. Докажите, что MK - средняя линия треугольника ABC
Для доказательства того, что MK - средняя линия треугольника ABC, нужно воспользоваться свойствами параллельных прямых и средних линий треугольника.
Поскольку плоскость, проходящая через середину M стороны AB, параллельна прямой AC, то угол MKA равен углу ABC (по свойству параллельных прямых). Также угол MKB равен углу ACB (также по свойству параллельных прямых).
Таким образом, треугольники AMK и ABC подобны по двум углам, и мы можем утверждать, что отношение сторон AM и AB равно отношению сторон MK и BC. Но AM равно BM (по свойству серединной линии), следовательно, MK также равно BM, что и означает, что MK - средняя линия треугольника ABC.
Для доказательства того, что MK - средняя линия треугольника ABC, нужно показать, что точка M - середина стороны AC и что точка K - середина стороны BC.
Чтобы доказать, что ( MK ) является средней линией треугольника ( ABC ), нужно показать, что ( MK ) параллельна стороне ( AC ) и что длина ( MK ) равна половине длины ( AC ).
Шаг 1: Анализ параллельности
По условию, плоскость, проведенная через точку ( M ) (середину стороны ( AB )), параллельна прямой ( AC ). Так как точка ( M ) лежит в этой плоскости, она также параллельна ( AC ). Поскольку ( K ) — точка пересечения этой плоскости со стороной ( BC ), то отрезок ( MK ) также будет параллелен ( AC ).
Шаг 2: Доказательство, что ( MK ) — средняя линия
Теперь нужно доказать, что ( MK = \frac{1}{2}AC ).
Пусть ( M ) — середина ( AB ), тогда ( AM = MB = \frac{1}{2}AB ).
Так как ( MK ) параллельна ( AC ) и проходит через середину ( AB ), по свойству средней линии в треугольнике (свойство, согласно которому отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен половине её длины), можно утверждать, что:
[ MK = \frac{1}{2} AC ]
Таким образом, отрезок ( MK ) действительно является средней линией треугольника ( ABC ), поскольку он параллелен стороне ( AC ) и его длина составляет половину длины стороны ( AC ).
