Через середину M стороны AB треугольника ABC проведена плоскость, параллельная прямой AC и пересекающая...

Для доказательства того, что MK - средняя линия треугольника ABC, нужно воспользоваться свойствами параллельных прямых и средних линий треугольника.

Поскольку плоскость, проходящая через середину M стороны AB, параллельна прямой AC, то угол MKA равен углу ABC $посвойствупараллельныхпрямых$. Также угол MKB равен углу ACB $такжепосвойствупараллельныхпрямых$.

Таким образом, треугольники AMK и ABC подобны по двум углам, и мы можем утверждать, что отношение сторон AM и AB равно отношению сторон MK и BC. Но AM равно BM $посвойствусерединнойлинии$, следовательно, MK также равно BM, что и означает, что MK - средняя линия треугольника ABC.

Для доказательства того, что MK - средняя линия треугольника ABC, нужно показать, что точка M - середина стороны AC и что точка K - середина стороны BC.

Чтобы доказать, что $MK$ является средней линией треугольника $ABC$, нужно показать, что $MK$ параллельна стороне $AC$ и что длина $MK$ равна половине длины $AC$.

Шаг 1: Анализ параллельности

По условию, плоскость, проведенная через точку $M$ $серединустороны(AB$), параллельна прямой $AC$. Так как точка $M$ лежит в этой плоскости, она также параллельна $AC$. Поскольку $K$ — точка пересечения этой плоскости со стороной $BC$, то отрезок $MK$ также будет параллелен $AC$.

Шаг 2: Доказательство, что $MK$ — средняя линия

Теперь нужно доказать, что $MK=\frac{1}{2}AC$.

1. Пусть $M$ — середина $AB$, тогда $AM=MB=\frac{1}{2}AB$.

2. Так как $MK$ параллельна $AC$ и проходит через середину $AB$, по свойству средней линии в треугольнике $свойство,согласнокоторомуотрезок,соединяющийсерединыдвухсторонтреугольника,параллелентретьейсторонеиравенполовинееёдлины$, можно утверждать, что:

   $MK=\frac{1}{2}AC$

Таким образом, отрезок $MK$ действительно является средней линией треугольника $ABC$, поскольку он параллелен стороне $AC$ и его длина составляет половину длины стороны $AC$.