Через точку М, находящуюся на расстоянии 15см от центра окружности радиусом 17 см, проведена хорда CD, которая делится точкой М на отрезки CM:MD=1:4. Найдите хорду CD
Через точку М, находящуюся на расстоянии 15см от центра окружности радиусом 17 см, проведена хорда CD, которая делится точкой М на отрезки CM:MD=1:4. Найдите хорду CD
Для решения этой задачи сначала найдем длины отрезков CM и MD, а затем используем их для вычисления длины хорды CD.
Поскольку точка M делит хорду CD в отношении 1:4, можно обозначить длину CM как (x) и длину MD как (4x). Тогда длина хорды (CD = x + 4x = 5x).
Теперь рассмотрим треугольник OCM, где O - центр окружности. OM - перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду CD, и он будет медианой и высотой этого треугольника, так как делит хорду пополам.
Поскольку точка M делит отрезок CD в отношении 1:4, то OM делит CD на отрезки 2x и 8x, а точка M будет ближе к середине CD, чем к концам. Отрезок OM можно найти из прямоугольного треугольника OCM по теореме Пифагора: [ OC^2 = OM^2 + MC^2 ] где (OC) равен радиусу окружности (17) см, (MC = 2x) (половина от CM).
Поскольку точка M находится на расстоянии 15 см от центра окружности, то (OM = 15) см. Подставим и найдем (x): [ 17^2 = 15^2 + (2x)^2 \ 289 = 225 + 4x^2 \ 64 = 4x^2 \ x^2 = 16 \ x = 4 \text{ см} ]
Теперь, когда мы нашли (x), можно вычислить длину хорды CD: [ CD = 5x = 5 \times 4 = 20 \text{ см} ]
Таким образом, длина хорды CD равна 20 см.
Для решения данной задачи нам понадобится использовать теорему о перпендикулярности хорд к радиусу, проведенному из центра окружности. Также нам понадобится применить теорему Пифагора.
Итак, пусть точка C находится на расстоянии х от точки М, а точка D на расстоянии 4х от точки М. Тогда, согласно условию задачи, CM:MD=1:4, что означает, что CM=х и MD=4х.
Так как точка М находится на расстоянии 15 см от центра окружности, а радиус окружности равен 17 см, то по теореме Пифагора получаем: (х^2) + (15^2) = 17^2 х^2 + 225 = 289 х^2 = 64 х = 8
Теперь найдем длину хорды CD. Согласно теореме о перпендикулярности хорд к радиусу, у нас имеется прямоугольный треугольник с катетами CD и х, и гипотенузой 17 см. Применяя теорему Пифагора, получаем: (CD^2) + (8^2) = 17^2 (CD^2) + 64 = 289 CD^2 = 225 CD = 15 см
Итак, длина хорды CD равна 15 см.
