Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 см проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислите площади образовавшихся треугольников.
Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 см проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислите площади образовавшихся треугольников.
Для решения задачи сначала найдем длину гипотенузы исходного прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора, гипотенуза ( c ) равна:
[ c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, \text{см} ]
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный вершиной прямого угла, точкой пересечения опущенного перпендикуляра с гипотенузой и одним из концов гипотенузы. Обозначим длину перпендикуляра как ( h ). По свойствам подобия прямоугольных треугольников, перпендикуляр, опущенный на гипотенузу, делит её на отрезки, пропорциональные квадратам катетов. Таким образом, перпендикуляр делит гипотенузу на отрезки длиной ( \frac{36}{10} = 3.6 ) см и ( \frac{64}{10} = 6.4 ) см.
Теперь найдем длину перпендикуляра ( h ). По формуле для перпендикуляра, опущенного на гипотенузу прямоугольного треугольника:
[ h = \frac{a \cdot b}{c} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4.8 \, \text{см} ]
Теперь мы можем вычислить площади двух новых треугольников. Площадь ( S_1 ) первого треугольника с основанием 3.6 см и высотой 4.8 см:
[ S_1 = \frac{1}{2} \cdot 3.6 \cdot 4.8 = 8.64 \, \text{см}^2 ]
Площадь ( S_2 ) второго треугольника с основанием 6.4 см и высотой 4.8 см:
[ S_2 = \frac{1}{2} \cdot 6.4 \cdot 4.8 = 15.36 \, \text{см}^2 ]
Эти значения площадей согласуются с исходной площадью исходного прямоугольного треугольника, которая равна:
[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \, \text{см}^2 ]
Проверим:
[ S_1 + S_2 = 8.64 + 15.36 = 24 \, \text{см}^2 ]
Таким образом, вычисления выполнены правильно, и площади двух новых треугольников равны 8.64 см² и 15.36 см² соответственно.
Для начала найдем длину гипотенузы прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: c^2 = a^2 + b^2 c^2 = 6^2 + 8^2 c^2 = 36 + 64 c^2 = 100 c = 10
Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника: катеты 6 и 8 см, гипотенуза 10 см.
Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: S = (a b) / 2 S = (6 8) / 2 S = 48 / 2 S = 24 кв. см
Теперь рассмотрим треугольники, образованные перпендикуляром, проведенным из вершины прямого угла треугольника к гипотенузе.
Один из этих треугольников будет равнобедренным, так как перпендикуляр к гипотенузе делит его пополам. Пусть это будет треугольник АВС, где А и В - вершины прямого угла треугольника, С - точка пересечения перпендикуляра с гипотенузой.
Площадь этого треугольника можно найти по формуле: S1 = (1/2) AC BC
Так как треугольник АВС является равнобедренным, то AC = BC, и площадь треугольника АВС равна: S1 = (1/2) * AC^2
Теперь найдем длину отрезков AC и BC с помощью подобия треугольников. Треугольник АВС подобен исходному прямоугольному треугольнику, поэтому отношение сторон в них равно отношению сторон в исходном треугольнике: AC / 6 = 10 / 8 AC = 7.5 см
Таким образом, площадь равнобедренного треугольника АВС равна: S1 = (1/2) * 7.5^2 S1 = 28.125 кв. см
Второй треугольник, образованный перпендикуляром, будет прямоугольным. Пусть это будет треугольник АСD, где А - вершина прямого угла треугольника, С - точка пересечения перпендикуляра с гипотенузой, D - точка пересечения перпендикуляра с катетом.
Площадь этого треугольника можно также найти по формуле: S2 = (1/2) AD CD
Так как треугольник АСD является прямоугольным, то его площадь равна: S2 = (1/2) 6 7.5 S2 = 22.5 кв. см
Итак, площади образовавшихся треугольников: 1) Прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см: 24 кв. см 2) Равнобедренный треугольник АВС: 28.125 кв. см 3) Прямоугольный треугольник АСD: 22.5 кв. см
