Дан куб ABCDA1B1C1D1, используя метод координат найдите угол между прямыми AC и BD1

Для того чтобы найти угол между прямыми ( AC ) и ( BD_1 ) в кубе ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ) с помощью метода координат, необходимо сначала задать координаты вершин куба. Предположим, что куб имеет сторону длиной ( a ) и расположен так, что одна из его вершин совпадает с началом координат ((0,0,0)).

Тогда координаты вершин куба будут следующие:

• ( A(0,0,0) )
• ( B(a,0,0) )
• ( C(a,a,0) )
• ( D(0,a,0) )
• ( A_1(0,0,a) )
• ( B_1(a,0,a) )
• ( C_1(a,a,a) )
• ( D_1(0,a,a) )

Теперь найдем координаты точек ( A ), ( C ) и ( D_1 ):

• ( A(0,0,0) )
• ( C(a,a,0) )
• ( D_1(0,a,a) )

Следующим шагом будет определение направляющих векторов для прямых ( AC ) и ( BD_1 ). Направляющий вектор прямой ( AC ) можно найти как разность координат точек ( C ) и ( A ):

[ \overrightarrow{AC} = C - A = (a,a,0) - (0,0,0) = (a,a,0) ]

Направляющий вектор прямой ( BD_1 ) можно найти как разность координат точек ( D_1 ) и ( B ):

[ \overrightarrow{BD_1} = D_1 - B = (0,a,a) - (a,0,0) = (-a,a,a) ]

Теперь используем скалярное произведение векторов для нахождения косинуса угла между ними. Скалярное произведение векторов ( \overrightarrow{AC} ) и ( \overrightarrow{BD_1} ) вычисляется как:

[ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD_1} = (a,a,0) \cdot (-a,a,a) = a \cdot (-a) + a \cdot a + 0 \cdot a = -a^2 + a^2 + 0 = 0 ]

Модули векторов ( \overrightarrow{AC} ) и ( \overrightarrow{BD_1} ) равны:

[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} ]

[ |\overrightarrow{BD_1}| = \sqrt{(-a)^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} ]

Косинус угла между векторами:

[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD_1}}{|\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{BD_1}|} = \frac{0}{a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{3}} = 0 ]

Поскольку косинус угла равен нулю, это означает, что угол ( \theta ) между векторами ( \overrightarrow{AC} ) и ( \overrightarrow{BD_1} ) равен ( 90^\circ ).

Таким образом, угол между прямыми ( AC ) и ( BD_1 ) в кубе ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ) равен ( 90^\circ ).

Для решения данной задачи сначала определим координаты вершин куба. Пусть вершина A имеет координаты (0, 0, 0), вершина B - (a, 0, 0), вершина C - (a, a, 0), вершина D - (0, a, 0), вершина A1 - (0, 0, a), вершина B1 - (a, 0, a), вершина C1 - (a, a, a), вершина D1 - (0, a, a).

Для нахождения уравнения прямых AC и BD1 воспользуемся уравнением прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки:

Для прямой AC: AC: (x, y, z) = (0, 0, 0) + t(a, a, 0), где t - параметр.

Для прямой BD1: BD1: (x, y, z) = (a, 0, 0) + s(0, a, a), где s - параметр.

Теперь найдем направляющие векторы прямых AC и BD1: AC: (a, a, 0) - (0, 0, 0) = (a, a, 0) BD1: (0, a, a) - (a, 0, 0) = (-a, a, a)

Так как косинус угла между двумя векторами равен произведению их скалярного произведения на произведение их модулей, поделив на модуль этих векторов, то:

cos(θ) = (a (-a) + a a + 0 a) / (sqrt(a^2 + a^2 + 0) sqrt((-a)^2 + a^2 + a^2))

cos(θ) = (-a^2 + a^2) / (sqrt(2a^2) * sqrt(3a^2))

cos(θ) = 0 / (sqrt(2a^2) * sqrt(3a^2)) = 0

Таким образом, угол между прямыми AC и BD1 равен 90 градусов.