Дан квадрат со стороной 2. в него вписан круг. другой круг меньшего радиуса касается данного круга и...

Для решения данной задачи нам необходимо найти радиус большего круга, который равен половине стороны квадрата, то есть 1. Также найдем радиус меньшего круга, который равен расстоянию от центра меньшего круга до центра большего круга, а также до одной из вершин квадрата.

По теореме Пифагора, расстояние от центра меньшего круга до вершины квадрата равно √2. Таким образом, радиус меньшего круга равен 1 - √2.

Площадь меньшего круга вычисляется по формуле S = πr^2, где r - радиус круга. Подставляя значение радиуса меньшего круга, получаем S = π(1 - √2)^2 ≈ 1.17 (округлено до двух знаков после запятой).

Итак, площадь меньшего круга, вписанного в данный квадрат, составляет примерно 1.17.

Чтобы найти площадь меньшего круга, начнем с анализа геометрической конфигурации.

1. Сторона квадрата и вписанный круг:

   • Длина стороны квадрата равна 2.
   • Радиус круга, вписанного в квадрат, равен половине стороны квадрата. Таким образом, радиус вписанного круга ( R = \frac{2}{2} = 1 ).

2. Меньший круг:

   • Меньший круг касается вписанного круга и двух соседних сторон квадрата. Это означает, что его центр лежит на биссектрисе угла квадрата, образованного двумя соседними сторонами.

3. Расположение центров кругов:

   • Центр вписанного круга находится в центре квадрата, то есть в точке ((1, 1)).
   • Пусть центр меньшего круга находится в точке ((x, y)). Так как он касается двух сторон квадрата, одна из которых горизонтальная, а другая вертикальная, его центр будет иметь координаты ((r, r)), где ( r ) — радиус меньшего круга.

4. Условие касания кругов:

   • Расстояние между центрами кругов равно сумме их радиусов: ( \sqrt{(1 - r)^2 + (1 - r)^2} = 1 + r ).

5. Решение уравнения: [ \sqrt{2(1 - r)^2} = 1 + r ] [ \sqrt{2} (1 - r) = 1 + r ] [ \sqrt{2} - \sqrt{2}r = 1 + r ] [ \sqrt{2} - 1 = r + \sqrt{2}r ] [ r(1 + \sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1 ] [ r = \frac{\sqrt{2} - 1}{1 + \sqrt{2}} ]

6. Упрощение выражения для ( r ): [ r = (\sqrt{2} - 1)(1 - \sqrt{2}) = (\sqrt{2} - 1)^2 ] [ r = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2} ]

7. Площадь меньшего круга:

   • Площадь меньшего круга ( S = \pi r^2 ).
   • Подставим значение ( r ): [ S = \pi (3 - 2\sqrt{2})^2 ] [ S = \pi (9 - 12\sqrt{2} + 8) = \pi (17 - 12\sqrt{2}) ]

Таким образом, площадь меньшего круга равна ( \pi (17 - 12\sqrt{2}) ).