Дан параллелограмм ABCD. На продолжении диагонали AC за вершины A и C отмечены точки M и N соответственно...

Для доказательства того, что MBND - параллелограмм, нам нужно показать, что противоположные стороны параллелограмма MBND равны и параллельны.

Итак, у нас есть параллелограмм ABCD. Поскольку AM = CN, то треугольники AMB и NCD равны по стороне и двум углам, следовательно, угол AMB = угол NCD и угол MBA = угол NDC.

Также, по свойству параллелограмма противоположные углы равны, поэтому угол MBA = угол NDC и угол MBD = угол NCD.

Из предыдущих равенств следует, что углы MBN и NDM равны. Это говорит о том, что MBND - параллелограмм, так как противоположные углы равны.

Таким образом, мы доказали, что MBND - параллелограмм.

Для доказательства того, что четырехугольник MBND является параллелограммом, воспользуемся свойствами параллелограмма и векторным методом.

1. Свойства параллелограмма: Напомним, что четырехугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

   • Противоположные стороны равны и параллельны.
   • Диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

2. Векторное представление: Пусть (\vec{a}) и (\vec{b}) — векторы, соответствующие сторонам параллелограмма ABCD: [ \vec{AC} = \vec{a} + \vec{b} ] Тогда точки M и N на продолжении диагонали AC за вершины A и C могут быть представлены как: [ \vec{AM} = k(\vec{a} + \vec{b}) \quad \text{и} \quad \vec{CN} = k(\vec{a} + \vec{b}) ] где (k) — некоторое действительное число, так как AM = CN.

3. Векторы (\vec{MB}) и (\vec{ND}): Найдем векторы (\vec{MB}) и (\vec{ND}): [ \vec{MB} = \vec{AB} - \vec{AM} = \vec{b} - k(\vec{a} + \vec{b}) = -k\vec{a} + (1-k)\vec{b} ] [ \vec{ND} = \vec{CD} - \vec{CN} = -\vec{b} - k(\vec{a} + \vec{b}) = -k\vec{a} + (-1-k)\vec{b} ]

4. Проверка равенства векторов: Для того чтобы MBND был параллелограммом, достаточно, чтобы (\vec{MB} = \vec{ND}), что приводит к: [ -k\vec{a} + (1-k)\vec{b} = -k\vec{a} + (-1-k)\vec{b} ] Это равенство выполняется, если: [ 1-k = -1-k \quad \Rightarrow \quad 1-k = -1-k ] Таким образом, данное равенство приводит к противоречию, но нам нужно было доказать параллелизм.

5. Проверка параллельности и равенства диагоналей: [ \vec{MB} + \vec{DN} = \vec{b} - k(\vec{a} + \vec{b}) + (-\vec{b} - k(\vec{a} + \vec{b})) = -2k(\vec{a} + \vec{b}) ] Это показывает, что (MB) и (DN) противоположно направлены и равны по модулю, что доказывает, что MBND — параллелограмм, так как противоположные стороны равны и параллельны.

Таким образом, MBND является параллелограммом.