Дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Постройте вектор m = BA + BC - CA и найдите модуль...

Вектор m = BA + BC - CA Модуль вектора m = √(9^2 + 9^2) = √162 = 9√2 см

Для решения задачи начнем с анализа геометрических свойств прямоугольного треугольника и построения вектора ( \mathbf{m} = \mathbf{BA} + \mathbf{BC} - \mathbf{CA} ).

Шаг 1: Понимание векторов в прямоугольном треугольнике

Пусть треугольник ( \triangle ABC ) прямоугольный, и угол ( C ) — прямой. Тогда стороны треугольника располагаются следующим образом:

• ( AB ) — гипотенуза.
• ( BC ) и ( CA ) — катеты.

Шаг 2: Определение векторов

Вектор ( \mathbf{BA} ) — это вектор, направленный от точки ( B ) к точке ( A ), и он равен ( -\mathbf{AB} ), так как ( \mathbf{AB} = \mathbf{BA} ) с противоположным направлением.

Вектор ( \mathbf{BC} ) — это вектор, направленный от точки ( B ) к точке ( C ).

Вектор ( \mathbf{CA} ) — это вектор, направленный от точки ( C ) к точке ( A ).

Шаг 3: Построение вектора ( \mathbf{m} )

Вектор ( \mathbf{m} ) определяется как: [ \mathbf{m} = \mathbf{BA} + \mathbf{BC} - \mathbf{CA} ]

Подставляя выражения для векторов, получаем: [ \mathbf{m} = -\mathbf{AB} + \mathbf{BC} - \mathbf{CA} ]

В треугольнике ( \mathbf{AB} = \mathbf{BC} + \mathbf{CA} ) по правилу сложения векторов в треугольнике. Следовательно, векторное уравнение принимает вид: [ \mathbf{m} = -(\mathbf{BC} + \mathbf{CA}) + \mathbf{BC} - \mathbf{CA} ]

Упрощая, получаем: [ \mathbf{m} = -\mathbf{BC} - \mathbf{CA} + \mathbf{BC} - \mathbf{CA} = -2\mathbf{CA} ]

Шаг 4: Нахождение модуля вектора ( \mathbf{m} )

Теперь, зная, что ( \mathbf{m} = -2\mathbf{CA} ), находим модуль: [ |\mathbf{m}| = |-2\mathbf{CA}| = 2|\mathbf{CA}| ]

Шаг 5: Вычисление длины ( CA )

Поскольку ( BC = 9 ) см и ( C ) — прямой угол, применим теорему Пифагора для нахождения ( CA ). Пусть ( AC = x ). Тогда: [ AB^2 = BC^2 + CA^2 ] [ AB = \sqrt{9^2 + x^2} ]

Из формулы для модуля вектора: [ |\mathbf{m}| = 2x ]

К сожалению, без дополнительной информации о длинах других сторон мы не можем найти точное значение для ( |\mathbf{m}| ), так как нам неизвестно соотношение сторон или ( AB ) напрямую. Если даны дополнительные условия или длины, можно продолжить вычисления.

Для начала построим вектор m = BA + BC - CA.

Так как вектор - это отрезок прямой, направление которого задается двумя точками, то мы можем взять точку B (начало вектора) и точку A (конец вектора) и построить вектор BA. Затем прибавим к этому вектору вектор BC и вычтем вектор CA.

Поскольку треугольник прямоугольный, будем использовать теорему Пифагора для нахождения длины гипотенузы AB. По формуле: AB = √(AC^2 + BC^2) = √(9^2 + 9^2) = √(81 + 81) = √162 ≈ 12.73 см.

Теперь построим вектор m:

1. BA = AB = 12.73 см
2. BC = 9 см
3. CA = AC = 9 см

Тогда вектор m = BA + BC - CA = 12.73 см + 9 см - 9 см = 12.73 см

Таким образом, модуль вектора m равен 12.73 см.