Дан правильный тетраэдр ДАВС с ребром а. При симметрии относительно плоскости АВС точка Д перешла в...

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства правильного тетраэдра. Поскольку тетраэдр ДАВС является правильным, то все его грани являются равносторонними треугольниками.

Сначала найдем расстояние от точки D до плоскости АВС. Так как D лежит на высоте тетраэдра, проведенной из вершины D к основанию АВС, то данное расстояние равно высоте правильного треугольника, который образуется проекцией точки D на плоскость АВС. Поскольку уравнение такого треугольника можно найти с помощью формулы для равностороннего треугольника, то расстояние от D до плоскости АВС равно (a√3)/2.

Теперь, когда мы найдем расстояние от точки D до плоскости АВС, мы можем найти расстояние между точками D и D1. Поскольку D1 получена симметрично относительно плоскости АВС, то расстояние между D и D1 равно удвоенному расстоянию от D до плоскости АВС, то есть a√3.

Итак, расстояние между точками D и D1 равно a√3.

Для решения задачи воспользуемся свойствами правильного тетраэдра и знанием о симметрии относительно плоскости.

1. В правильном тетраэдре все рёбра равны, и каждое ребро имеет длину а. Плоскость АВС делит тетраэдр на две симметричные части относительно этой плоскости.

2. При симметрии относительно плоскости АВС точка Д, которая находится по одну сторону от плоскости, переходит в точку Д1, расположенную по другую сторону от плоскости на равном расстоянии от неё, как и точка Д.

3. Отрезок ДД1 является линией, перпендикулярной плоскости АВС и проходящей через точки Д и Д1. Его длина равна удвоенному расстоянию от точки Д до плоскости АВС.

4. Расстояние от точки до плоскости в тетраэдре можно выразить через высоту правильного тетраэдра, опущенную на одну из его граней. Высота правильного тетраэдра, опущенная из вершины на противоположную грань, делится точкой касания с гранью в отношении 1:3. Поскольку все грани тетраэдра — равносторонние треугольники, высота каждой грани (h_грани) равна ( \sqrt{3}/2 \cdot a ).

5. Высота тетраэдра (h) из вершины до центра грани рассчитывается по формуле: [ h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{3}{4}a^2} = a \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{a}{2} ] Это расстояние от вершины Д до центра грани АВС.

6. Так как точка Д1 симметрична Д относительно плоскости АВС, то ДД1 равно удвоенной высоте тетраэдра: [ ДД1 = 2 \cdot \frac{a}{2} = a ]

Таким образом, длина отрезка ДД1 равна а.