Дан равнобедренный треугольник АВС АС=8 см, ВС = 7см. Найти сторону АВ

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC и равными сторонами AC и AB, где AC = 8 см и BC = 7 см, мы ищем длину стороны AB.

1. Определение высоты: Для начала мы проведем высоту AH из вершины A на основание BC. Эта высота разделит треугольник на два прямоугольных треугольника: треугольники ABH и ACH, где H — это точка пересечения высоты AH с основанием BC.

2. Разделение основания: Поскольку треугольник равнобедренный, точка H делит основание BC на две равные части. Обозначим BH = x и HC = x. Тогда длина основания BC будет равна $BH+HC=x+x=2x$. Поскольку BC = 7 см, мы имеем: $2x=7⟹x=\frac{7}{2}=3.5\text{ см}$ Таким образом, $BH=3.5\text{ см}$ и $HC=3.5\text{ см}$.

3. Построение прямоугольного треугольника ABH: Теперь мы можем использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ABH, чтобы найти длину стороны AB. По определению высоты AH, стороны AB и AH являются катетами треугольника, а AH — высотой, которую мы обозначим как h.

   В треугольнике ABH: $A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2$

   Подставим известные значения: $A{B}^2=h^2+(3.5{)}^2$

4. Вычисление высоты AH: Для нахождения h мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике ACH. Поскольку AC = 8 см, мы можем записать: $A{C}^2=A{H}^2+H{C}^2$ Подставим известные значения: $8^2=h^2+(3.5{)}^2$ $64=h^2+12.25$ $h^2=64-12.25=51.75$ $h=\sqrt{51.75}\approx 7.2\text{ см}$

5. Находим AB: Теперь мы можем найти длину стороны AB: $A{B}^2=h^2+(3.5{)}^2$ Подставим h: $A{B}^2=51.75+12.25=64$ $AB=\sqrt{64}=8\text{ см}$

Таким образом, длина стороны AB равнобедренного треугольника ABC составляет 8 см.

Давайте подробно разберем задачу.

У нас дан равнобедренный треугольник $\mathrm{△}ABC$, где $AC=8\text{см}$, $BC=7\text{см}$, и требуется найти длину стороны $AB$.

Анализ задачи

В равнобедренном треугольнике две стороны равны. В данном случае неизвестно, какие именно стороны равны: $AB=AC$ или $AB=BC$. Рассмотрим оба варианта:

Вариант 1: $AB=AC$

Если $AB=AC=8\text{см}$, то треугольник имеет следующие стороны: $AB=8\text{см},AC=8\text{см},BC=7\text{см}.$

Теперь проверим, выполняется ли неравенство треугольника. Оно утверждает, что сумма любых двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны: $AB+AC>BC,AB+BC>AC,AC+BC>AB.$ Подставим значения:

1. $8+8=16>7$ — верно.
2. $8+7=15>8$ — верно.
3. $8+7=15>8$ — верно.

Все неравенства выполнены. Следовательно, такой треугольник возможен. В этом случае длина стороны $AB=8\text{см}$.

Вариант 2: $AB=BC$

Если $AB=BC=7\text{см}$, то треугольник имеет следующие стороны: $AB=7\text{см},AC=8\text{см},BC=7\text{см}.$

Снова проверим неравенство треугольника:

1. $AB+AC=7+8=15>7$ — верно.
2. $AB+BC=7+7=14>8$ — верно.
3. $AC+BC=8+7=15>7$ — верно.

Все неравенства выполнены. Следовательно, такой треугольник тоже возможен. В этом случае длина стороны $AB=7\text{см}$.

Вывод

В равнобедренном треугольнике $\mathrm{△}ABC$ возможно два случая:

1. Если $AB=AC$, то $AB=8\text{см}$.
2. Если $AB=BC$, то $AB=7\text{см}$.

Для однозначного ответа требуется дополнительная информация о равных сторонах треугольника.