Дан треугольник ABC , угол А=90 градусов , АВ=9см . через сторону АС проведена плоскость альфа , образующияся...

Для решения этой задачи необходимо воспользоваться понятием расстояния от точки до плоскости в пространстве, а также знанием о свойствах и отношениях в треугольниках и углах наклона плоскостей.

1. Начнем с анализа исходных данных:

   • Треугольник $ABC$ с прямым углом $\mathrm{\angle }A={90}^{\circ }$.
   • $AB=9$ см.
   • Плоскость $\alpha$ проходит через сторону $AC$ и образует угол ${30}^{\circ }$ с плоскостью треугольника $ABC$.

2. Определим координаты вершин треугольника:

   • Расположим треугольник $ABC$ на координатной плоскости $xy$: $A=(0,0,0)$ $B=(9,0,0)$ $C=(0,c,0)\text{(где (c) - неизвестная длина (AC))}$

3. Уравнение плоскости $\alpha$:

   • Поскольку плоскость $\alpha$ проходит через сторону $AC$, она содержит прямую $AC$, и нормальный вектор плоскости $\alpha$ будет перпендикулярен $AC$.
   • Пусть нормальный вектор плоскости $ABC$ $которыйявляется(xy$-плоскостью) равен $\overrightarrow{n_1}=(0,0,1$ ).

4. Вектор нормали плоскости $\alpha$:

   • Плоскость $\alpha$ наклонена под углом ${30}^{\circ }$ к $xy$-плоскости, значит нормальный вектор $\overrightarrow{n_2}$ плоскости $\alpha$ будет иметь углы в 30 градусов с нормалью плоскости $ABC$.
   • Если $\overrightarrow{n_2}$ имеет угол ${30}^{\circ }$ с $\overrightarrow{n_1}$, то: $\overrightarrow{n_2}=(a,b,\cos ({30}^{\circ }))=(a,b,\frac{\sqrt{3}}{2})$

5. Нормаль к плоскости $\alpha$:

   • Для упрощения расчетов можно выбрать коэффициенты $a$ и $b$ так, чтобы нормаль соответствовала наклону $\alpha$, например $a=b=0,\frac{\sqrt{3}}{2}$.

6. Определение расстояния от точки $B$ до плоскости $\alpha$:

   • Уравнение плоскости в пространстве $Ax+By+Cz+D=0$.

   • Подставляем нормаль и точку $A$: $0x+0y+\frac{\sqrt{3}}{2}z+D=0⟹D=0\text{(плоскость проходит через точку A)}$

   • Следовательно, уравнение плоскости $\alpha$: $\frac{\sqrt{3}}{2}z=0$

7. Расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$:

   • Формула расстояния от точки до плоскости: $d=\frac{|A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

   • Подставляем координаты точки $B(9,0,0$) и уравнение плоскости: $d=\frac{|0\cdot 9+0\cdot 0+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 0+0|}{\sqrt{0^2+0^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}}=\frac{0}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=0$

Следовательно, расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$ равно 0 см.

Для вычисления расстояния от вершины D до плоскости альфа можно воспользоваться формулой высоты треугольника.

Поскольку угол между плоскостью альфа и плоскостью треугольника ABC составляет 30 градусов, то у нас получается прямоугольный треугольник ABC, где угол BAC равен 90 градусов, угол ABC равен 60 градусов $всилусуммыугловтреугольника$, а угол ACB равен 30 градусов.

Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник ABC, где гипотенуза AB равна 9 см, а катет AC равен расстоянию от вершины D до плоскости альфа.

Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину катета AC: AC^2 = AB^2 - BC^2 AC^2 = 9^2 - $9/2$^2 AC^2 = 81 - 81/4 AC^2 = 324/4 - 81/4 AC^2 = 243/4 AC = √$243/4$ AC = √243 / 2 AC = 3√27 / 2 AC = 3√3 / 2

Таким образом, расстояние от вершины D до плоскости альфа равно 3√3 / 2 см.

Расстояние от вершины А до плоскости альфа равно 4,5 см.